题面 洛谷P4180
题目描述
小C最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时，小P又来泼小C冷水了。小P说，让小C求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是EM，严格次小生成树选择的边集是ES，那么需要满足：(value(e)表示边e的权值) ∑e∈EMvalue(e)<∑e∈ESvalue(e)sum_{e in E_M}value(e)<sum_{e in E_S}value(e)∑e∈EMvalue(e)<∑e∈ESvalue(e)
这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。
输出格式：
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
输入输出样例
5 6 1 2 1 1 3 2 2 4 3 3 5 4 3 4 3 4 5 6
说明
数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。
解析：
容易联想到严格次小生成树应该由最小生成树转化而来
那么问题就转化为一只一个图的最小生成树，如何求它的次小生成树
我们可以考虑枚举每一条非树边，把它加入MST中，再删去这条边的两端点在MST中的简单路径上的最长边，由MST的性质，这条边一定不大于我们要加的边（如果大于，那将他删去，再加上新的边，依然是一棵树，并且新树的边权和比原树的小，这与MST的定义矛盾），但又要考虑到生成树必须严格最小，那么我们删去的这条边必须小于新加的边，即两边权值不能相等
由于我的倍增不太熟练，我采用树链剖分+线段树的方法维护路径的最大值与严格次大值
在线段树的向上更新过程中，更新最大值和普通的一样，严格次大值的更新就是先取两儿子的严格次大值的max，如果两儿子的最大值不等，再取该点的值与两儿子的最大值的max，这部分代码如下
线段树查询过程中的区间合并的操作与这部分类似，详见下面的完整代码
树链剖分的边权转点权后，求路径的最大值与次大值，注意到lca的边权是不能取的，我右边的大导演wys就这样wa了几个点
代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 100005, maxm = 300005; const ll inf = 1e16; template<class T> void read(T &re) { re=0; T sign=1; char tmp; while((tmp=getchar())&&(tmp<'0'||tmp>'9')) if(tmp=='-') sign=-1; re=tmp-'0'; while((tmp=getchar())&&(tmp>='0'&&tmp<='9')) re=(re<<3)+(re<<1)+(tmp-'0'); re*=sign; } int n, m; ll sum, ans; struct edge{ int u, v; ll val; }e[maxm]; vector<pair<int, ll> > G[maxn], H[maxn]; bool cmp(edge x, edge y) { return x.val < y.val; } int f[maxn]; int Find(int x) { return x == f[x]? x: f[x] = Find(f[x]); } int cnt, dep[maxn], son[maxn], size[maxn], fa[maxn], top[maxn], pos[maxn]; ll a[maxn], v[maxn]; void dfs1(int x) { size[x] = 1; for(unsigned int i = 0; i < G[x].size(); ++i) { int id = G[x][i].first; if(fa[x] == id) continue ; fa[id] = x; v[id] = G[x][i].second; dep[id] = dep[x] + 1; dfs1(id); if(size[id] > size[son[x]]) son[x] = id; size[x] += size[id]; } } void dfs2(int x) { a[++cnt] = v[x]; pos[x] = cnt; if(son[fa[x]] == x) top[x] = top[fa[x]]; else top[x] = x; if(son[x]) dfs2(son[x]); for(unsigned int i = 0; i < G[x].size(); ++i) { int id = G[x][i].first; if(fa[x] == id || id == son[x]) continue ; dfs2(id); } } struct pr{ ll mx, mx2; }; int tot, root; struct seg_tree{ int l, r, ls, rs; pr p; }tr[maxn<<1]; void update(int x) { tr[x].p.mx = max(tr[tr[x].ls].p.mx, tr[tr[x].rs].p.mx); tr[x].p.mx2 = max(tr[tr[x].ls].p.mx2, tr[tr[x].rs].p.mx2); if(tr[tr[x].ls].p.mx != tr[tr[x].rs].p.mx) tr[x].p.mx2 = max(tr[x].p.mx2, min(tr[tr[x].ls].p.mx, tr[tr[x].rs].p.mx)); } void build(int &x, int l, int r) { if(l == r) { x = l; tr[x].l = tr[x].r = l; tr[x].p.mx = a[l]; tr[x].p.mx2 = -inf; return ; } x = ++tot; tr[x].l = l; tr[x].r = r; int mid = (l + r)>>1; build(tr[x].ls, l, mid); build(tr[x].rs, mid + 1, r); update(x); } pr get_max(pr x, pr y) { pr ret; ret.mx = max(x.mx, y.mx); ret.mx2 = max(x.mx2, y.mx2); if(x.mx != y.mx) ret.mx2 = max(ret.mx2, min(x.mx, y.mx)); return ret; } pr query(int x, int l, int r) { if(l <= tr[x].l && tr[x].r <= r) { return tr[x].p; } pr ret = (pr){-inf, -inf}; int mid = (tr[x].l + tr[x].r)>>1; if(l <= mid) ret = get_max(ret, query(tr[x].ls, l, r)); if(mid < r) ret = get_max(ret, query(tr[x].rs, l, r)); return ret; } void work(int x, int y, ll val) { pr t = (pr){-inf, -inf}; while(top[x] != top[y]) { if(dep[top[x]] > dep[top[y]]) { t = get_max(t, query(root, pos[top[x]], pos[x])); x = fa[top[x]]; } else { t = get_max(t, query(root, pos[top[y]], pos[y])); y = fa[top[y]]; } } if(dep[x] < dep[y]) t = get_max(t, query(root, pos[x]+1, pos[y])); else if(dep[y] < dep[x]) t = get_max(t, query(root, pos[y]+1, pos[x])); ll z = (val != t.mx? t.mx : t.mx2); ans = min(ans, sum - z + val); } int main() { read(n);read(m); for(int i = 1; i <= m; ++i) read(e[i].u), read(e[i].v), read(e[i].val); sort(e + 1, e + m + 1, cmp); for(int i = 1; i <= n ; ++i) f[i] = i; for(int i = 1; i <= m ; ++i) { int p = Find(e[i].u), q = Find(e[i].v); if(p != q) { sum += e[i].val; G[e[i].u].push_back(make_pair(e[i].v, e[i].val)); G[e[i].v].push_back(make_pair(e[i].u, e[i].val)); f[p] = q; } else H[e[i].u].push_back(make_pair(e[i].v, e[i].val)); } dfs1(1); dfs2(1); tot = n; build(root, 1, n); ans = inf; for(int i = 1; i <= n; ++i) for(unsigned int j = 0; j < H[i].size(); ++j) work(i, H[i][j].first, H[i][j].second); printf("%lld", ans); return 0; }
2019-07-11