Motivation
学习CRF的过程中,我发现很多资料,教程上来就给一堆公式,并不知道这些公式是怎么来的。 所以我想以面向问题的形式,分享一下自己对CRF用于序列标注问题的理解
问题定义
给定观测序列(X=(X_1,X_2,X_3,...X_n)),
应该注意以下几点:
- 输入(X=(X_1,X_2,X_3,...X_n))是观测序列,是先验条件
- 输出(Y=(Y_1,Y_2,Y_3,...Y_n))是标注序列,也称为状态序列, 与观测序列具有相同的结构
我们举个例子:
设有一标注问题:输入观测序列为(X=(X_1,X_2,X_3,X_3)=(Dog caught the cat)),输出标记序列为(Y=(Y_1,Y_2,Y_3,Y_3)),(Y_1,Y_2,Y_3,Y_3)取值于(gamma={verb, article, noun})
我们可以得到以下模型图:
当模型输入句子 ”Dog caught the cat“ 时,我们希望模型能够输出标注序列:“n v a n”的概率最大
那么如何根据这个状态图计算出序列”n v a n“的出现的概率呢?
这里就引出了概率无向图模型:(注:个人认为条件随机场模型是一个概率无向图模型,而线性链条件随机场是一个有向图模型)
条件随机场
这里我们对于上图中的图模型,我们定义两种特征: 状态特征和转移特征
- 状态特征: 定义在结点上,表示这个结点是否拥有某个属性
- 转移特征: 定义在边上,表示两个状态是否会因为某个特征而转移
对于上面的问题中,我们可以直觉性地定义一些特征,例如:状态特征可以是({脊椎动物,哺乳动物,爬行动物,地点, 时间,动作}),转移特征可以理解有({动物后面接动词jump,人后面接动词love,名词后面接代词,动词后面接代词,形容词后面接名词}),这些就是我们对于一些直观特征,当然还有很多隐藏特征我们无法用语言来解释,也没有必要解释。
因此我们用数学语言来表达这些特征:
假设我们定义了(K_1) 个转移特征 $ {t_1,t_2,...,t_{K_1}} $ ,定义了(K_2)个状态特征 ({s_1,s_2,...,s_{K_2}}) ,当一个结点拥有状态特征(s_j)时,(s_j=1),否则,(s_j=0)
例如:dog 拥有状态特征:{脊椎动物,哺乳动物}
一个结点(y_i)的状态特征只与这个结点和观测序列有关,其他结点无关,同理,转移特征可以表示如下:
当然,这些特征所起到的重要性应该是有差异的,例如单词:train,它作为动词时有“训练,瞄准”的意思。 当我们一篇关于机器学习的论文(观测序列(x))中观测到了单词train时
在train被模型标注为verb的过程中,特征(s_1)比(s_2)应该起到更高的重要性,理应拥有更大的权重,同理对于每个转移特征,利用也有对应的权重,
这里,我们定义转移特征的权值为(lambda_k),状态特征的权值为(mu_l),则当我们得到观测序列(X=(x_1,x_2,...x_n)),状态序列为(Y=(y_1,y_2,...y_n))时的所有结点的的特征之和为
由此,我们用这个特征和来计算:
当观测序列(X=(x_1,x_2,...x_n)),状态序列为(Y=(y_1,y_2,...y_n))的概率
首先概率值不能是负的,所以我们将这个特征和变换为正值,还必须保证各个状态序列特征和大小关系不变,所以我们使用指数函数exp进行变换得到,再把这个结果规范化后就得到了概率函数了,也是线性链条件随机场的参数化形式定义(《统计学习方法》定理11.2)
设 (P(Y|X))为线性链条件随机场, 则在随机变量 取值为x的条件下, 随机变量Y的取值为 y的条件概率具有如下形式:
其中
(t_k)和(s_l)是特征函数,(lambda_k)和(mu_l)是对应的权值, 是规范化因子,(Z(x))求和是在所有可能的输出序列上进行的
Reference
《统计学习方法》 李航