二叉搜索树、AVL平衡二叉搜索树、红黑树、多路查找树

1.二叉搜索树

1.1定义

　　是一棵二叉树，每个节点一定大于等于其左子树中每一个节点，小于等于其右子树每一个节点

1.2插入节点

　　从根节点开始向下找到合适的位置插入成为叶子结点即可；在向下遍历时，如果要插入的值比节点的值小，则向节点的左子树遍历，大于等于则向右子树遍历，如此循环。

1.3删除节点

删除节点x有3种情况：

　　1.x是叶子结点，则直接删除；

　　2.x只有一棵子树（左子树或者右子树），则直接将x的父结点指向x的孩子，再删除x节点，如果x是根结点，则要更新x的孩子为树根；

　　3.x有两棵子树，则要找到x在右子树中的后驱节点y，然后将y的右子树成为y的父结点的左子树，再用y替换掉x。

后驱节点y：大于x的节点中的最小结点，也就是x的右子树中的最小结点，即x的右子树中最左侧的不拥有左子树的节点；下图是一个实例：

参考资料：

https://blog.csdn.net/ivan_zgj/article/details/51502767

2.AVL平衡二叉搜索树（要平衡先搜索）

2.1定义

　　一棵二叉搜索树，任何节点的左子树高度和右子树高度最多相差1（严格平衡）

　　节点58左子树高度3，右子树高度0，相差3，所以图中不是平衡二叉树

　　AVL树的高度为 ⌊logn⌋ (n为节点总个数，向下取整符号)

　　满二叉树是平衡树吗？看标题，要平衡先搜索，搜索树是考虑了节点值的树

2.2节点结构

　　data、bf(平衡因子=左子树高度-右子树高度)、left指针、right指针

2.3插入节点

1）按二叉搜索树的规则找到插入位置；

2）节点插入后，若节点X的左子树和右子树高度的差变成了2，破坏了平衡，则需要调整，可分为四种情况：

　　1.外侧插入：左左——插入点位于X的左儿子的左子树

　　2.外侧插入：右右——插入点位于X的右儿子的右子树

　　3.内侧插入：左右——插入点位于X的左儿子的右子树

　　4.内侧插入：右左——插入点位于X的右儿子的左子树

3）对于外侧插入，采用单旋转修正：左左（右单旋），右右（左单旋）；

4）单旋转：拿右旋转举例，捏起X节点的左儿子，让X节点自然下滑，并将X节点的左子节点的右子树挂到X节点的左侧，整个过程就像向右边旋转一样；

5）对于内侧插入，采用双旋转（两次单旋转）修正：左右（左单旋+右单旋），右左（右单旋+左单旋）;

6）旋转操作都是O(1)

2.4删除节点（不太懂）

按二叉搜索树的规则找到要删除的节点，然后再找到“最先发生树高变化的节点”，进行旋转调整，删除节点x有3种情况：

1. x是叶子节点，“最先发生树高变化的节点”为x的父节点；

2. x只有一棵子树，“最先发生树高变化的节点”为x的父节点；

3. x有两棵子树，则“最先发生树高变化的节点”为x的后驱的父节点。

2.5各种操作的时间复杂度

　　查找、插入、删除：O(logn)

3.红黑树

3.1定义

是一棵二叉搜索树，确保最长路径不大于两倍的最短路径的长度，不是严格平衡，是近似平衡，满足5个规则：

　　1.每个节点要么是红色，要么是黑色

　　2.根节点必为黑色

　　3.NULL视为黑色

　　4.如果某个节点为红色，其儿子节点必须为黑色

　　5.任何一个节点至NULL的任何路径，所含黑色节点的数目相同

一般情况下，规则5导致新插的节点必须为红色，进而根据规则4，需要新插节点的父节点为黑色，如果不为黑色，就需要调整颜色或旋转来修正

3.2节点结构的数据成员

　　color(枚举型)、key、value、left指针、right指针、parent指针（红黑树的各种操作经常要上溯到父节点）

3.3插入节点

case 1：如果插入的节点是根节点，直接将该节点标识成黑色即可

case 2：插入的节点不是根节点，如果插入的节点的父节点是黑色的话，那么不需要调整

case 3：如果父节点是红色，则需要看叔节点的颜色

　　case 3.1：叔节点为也红色，则将父和叔结点变为黑色，将祖父结点变为红色；由于祖父结点的父结点有可能为红，则将祖父结点作为新的判定点向上修正

　　case 3.2：叔节点为黑色，则需要旋转并调整颜色来修正

　　　　case 3.2.1：左左，右旋转

　　　　case 3.2.1：右右，左旋转

　　　　case 3.2.1：左右，左旋转+右旋转

　　　　case 3.2.1：右左，右旋转+左旋转

　　　　

　　  　　　　 

参考资料：

http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7740956

http://www.cnblogs.com/xuqiang/archive/2011/05/16/2047001.html

3.4删除节点

　　太复杂。。。红黑树删除节点最多只需3次旋转调整

根据被删除节点x的颜色可分为2种情况：

1.x为红色，删除x后不会影响红黑树的平衡性，不需要做任何调整；

2.x为黑色，则x所在的路径上的黑色节点总数减少1，红黑树失去平衡，需要调整。

参考资料：

https://www.cnblogs.com/sandy2013/p/3271497.html

3.5插入、删除节点源码

// sgi stl _Rb_tree 插入算法 insert_equal() 实现.
// 策略概述: insert_equal() 在红黑树找到自己的位置,
// 然后交由 _M_insert() 来处理接下来的工作.
// _M_insert() 会将节点插入红黑树中, 接着调整红黑树,
// 维持性质.
template <class _Key, class _Value, class _KeyOfValue,class _Compare, class _Alloc>
typename _Rb_tree<_Key, _Value, _KeyOfValue, _Compare, _Alloc>::iterator
_Rb_tree<_Key, _Value, _KeyOfValue, _Compare, _Alloc>::insert_equal(const _Value& __v)
{
    // 在红黑树中有头结点和根节点的概念, 头结点位于根节点之上,
    // 头结点只为管理而存在, 根节点是真正存储数据的地方. 头结点和根节点互为父节点,
     // 是一种实现的技巧.
    _Link_type __y = _M_header; // 指向头结点
    _Link_type __x = _M_root(); // _M_header->_M_parent, 即指向根节点

    // 寻找插入的位置
    while (__x != 0) {
        __y = __x;

        // 小于当前节点要走左边, 大于等于当前节点走右边
        __x = _M_key_compare(_KeyOfValue()(__v), _S_key(__x)) ?
            _S_left(__x) : _S_right(__x);
    }
    // __x 为需要插入的节点的位置, __y 为其父节点
    return _M_insert(__x, __y, __v);
}

// sgi stl _Rb_tree 插入算法 insert_unique() 实现.
// 策略概述: insert_unique() 同样也在红黑树中找到自己的位置; 我们知道,
// 如果小于等于当前节点会往右走, 所以遇到一个相同键值的节点后, 会往右走一步,
// 接下来一直往左走, 所以下面的实现会对往左走的情况做特殊的处理.
template <class _Key, class _Value, class _KeyOfValue,class _Compare, class _Alloc>
pair<typename _Rb_tree<_Key, _Value, _KeyOfValue, _Compare, _Alloc>::iterator,bool>
_Rb_tree<_Key, _Value, _KeyOfValue, _Compare, _Alloc>::insert_unique(const _Value& __v)
{
    _Link_type __y = _M_header; // 指向头结点
    _Link_type __x = _M_root(); // 指向根节点, 可能为空
    bool __comp = true;

    // 寻找插入的位置
    while (__x != 0) {
        __y = __x;
        __comp = _M_key_compare(_KeyOfValue()(__v), _S_key(__x));//_M_key_compare：v<x返回true

        // 小于当前节点要走左边, 大于等于当前节点走右边
        __x = __comp ? _S_left(__x) : _S_right(__x);
    }
    //离开while循环之后，__y所指为插入点的父节点

    iterator __j = iterator(__y); // 令迭代器__j指向插入点的父节点__y

    // 我认为下面判断树中是否有存在键值的情况有点绕,
    // 它充分利用了二叉搜索树的性质, 如此做很 hack, 但不易理解.
    // 要特别注意往左边插入的情况.

    // HACKS:
    // 下面的 if 语句是比 __x 小走左边的情况: 会发现, 如果插入一个已存在的键的话,
    // __y 最终会定位到已存在键的右子树的最左子树.
    // 譬如, 红黑树中已经存在一个键为 100 的节点, 其右孩子节点为 101,
    // 此时如果再插入键为 100 的节点, 因为 100<=100, 所以会往右走到达 101 节点,
    // 有 100<101, 继而往左走, 会一直往左走.大家稍微画一个例子就能理解.

    if (__comp)    //如果离开while循环__comp为真，也就是说，最后一次while循环选择的是左边
        
        if (__j == begin())//特殊情况，如果插入点的父节点为最左节点，那么肯定要插入这个新节点.
            return pair<iterator, bool>(_M_insert(__x, __y, __v), true);
        else// 那么 --__j 能定位到此重复的键的节点.
            --__j;

    // HACKS: 这里比较的是 __j 和 __v, 如果存在键值, 那么 __j == __v,
    // 会跳过 if 语句. 否则执行插入. 也就是说如果存在重复的键, 那么 __j
    // 的值肯定是等于 __v
    if (_M_key_compare(_S_key(__j._M_node), _KeyOfValue()(__v)))
        return pair<iterator, bool>(_M_insert(__x, __y, __v), true);

    // 此时 __y.value = __v, 不允许插入, 返回键值所在位置
    return pair<iterator, bool>(__j, false);
}

// _M_insert() 是真正执行插入的地方.
// 策略概述: 插入策略已经在上篇中详述, 可以根据上篇文章的描述,
// 和下面代码的注释, 加深对红黑树插入算法里理解
template <class _Key, class _Value, class _KeyOfValue,class _Compare, class _Alloc>
typename _Rb_tree<_Key, _Value, _KeyOfValue, _Compare, _Alloc>::iterator
_Rb_tree<_Key, _Value, _KeyOfValue, _Compare, _Alloc>::_M_insert(_Base_ptr __x_, _Base_ptr __y_, const _Value& __v)
{
    _Link_type __x = (_Link_type)__x_; // 新节点插入的位置.
    // 关于 __x 的疑问:
    // 1. 它被放到下面的, 第一个 if 语句中, 我觉得是没有必要的,
    // 因为从调用 _M_insert() 的函数来看, __x 总是为空.
    // 2. 既然 __x 是新节点插入的位置, 那么为什么不直接在 __x 上创建节点,
    // 还要在下面通过比较来决定新节点是左孩子还是右孩子;
    // 不如直接用指针的指针或者指针的引用来完成, 省去了下面的判断.

    _Link_type __y = (_Link_type)__y_; // 新节点的父节点
    _Link_type __z; // 新节点的位置

    if (__y == _M_header || __x != 0 ||
        _M_key_compare(_KeyOfValue()(__v), _S_key(__y))) {
        // 新节点应该为左孩子
        __z = _M_create_node(__v);
        _S_left(__y) = __z;               // also makes _M_leftmost() = __z
                                          //    when __y == _M_header
        if (__y == _M_header) {
            _M_root() = __z;
            _M_rightmost() = __z;
        }
        else if (__y == _M_leftmost())
            _M_leftmost() = __z;   // maintain _M_leftmost() pointing to min node
    }
    // 新节点应该为右孩子
    else {
        __z = _M_create_node(__v);
        _S_right(__y) = __z;
        if (__y == _M_rightmost())
            _M_rightmost() = __z;  // maintain _M_rightmost() pointing to max node
    }
    _S_parent(__z) = __y;
    _S_left(__z) = 0;
    _S_right(__z) = 0;

    // 重新调整
    _Rb_tree_rebalance(__z, _M_header->_M_parent);

    // 更新红黑树节点数
    ++_M_node_count;

    // 返回迭代器类型
    return iterator(__z);
}

// 插入新节点后, 可能会破坏红黑树性质, _Rb_tree_rebalance() 负责维持性质.
// 其中:
// __x 新插入的节点
// __root 根节点
// 策略概述: 红黑树插入重新调整的策略已经在上篇中讲述,
// 可以结合上篇文章和这里的代码注释,
// 理解红黑树的插入算法.
inline void
_Rb_tree_rebalance(_Rb_tree_node_base* __x, _Rb_tree_node_base*& __root)
{
    // 将新插入的节点染成红色
    __x->_M_color = _S_rb_tree_red;

    while (__x != __root && __x->_M_parent->_M_color == _S_rb_tree_red) {
        // __x 的父节点也是红色的情况. 提示: 如果是黑色节点, 不会破坏红黑树性质.

        if (__x->_M_parent == __x->_M_parent->_M_parent->_M_left) {
            // 叔父节点
            _Rb_tree_node_base* __y = __x->_M_parent->_M_parent->_M_right;

            if (__y && __y->_M_color == _S_rb_tree_red) {
                // 第 1 种情况, N,P,U 都红(G 肯定黑).
                // 策略: G->红, N,P->黑. 此时, G 红, 如果 G 的父亲也是红, 性质又被破坏了,
                // HACK: 可以将 GPUN 看成一个新的红色 N 节点, 如此递归调整下去;
                // 特俗的, 如果碰巧将根节点染成了红色, 可以在算法的最后强制 root->红.
                __x->_M_parent->_M_color = _S_rb_tree_black;
                __y->_M_color = _S_rb_tree_black;
                __x->_M_parent->_M_parent->_M_color = _S_rb_tree_red;
                __x = __x->_M_parent->_M_parent;
            }
            else {

                if (__x == __x->_M_parent->_M_right) {
                    // 第 2 种情况, P 为红, N 为 P 右孩子, U 为黑或缺少.
                    // 策略: 旋转变换, 从而进入下一种情况:
                    __x = __x->_M_parent;
                    _Rb_tree_rotate_left(__x, __root);
                }
                // 第 3 种情况, 可能由第二种变化而来, 但不是一定: P 为红, N 为红.
                // 策略: 旋转, 交换 P,G 颜色, 调整后, 因为 P 为黑色, 所以不怕
                // P 的父节点是红色的情况. over
                __x->_M_parent->_M_color = _S_rb_tree_black;
                __x->_M_parent->_M_parent->_M_color = _S_rb_tree_red;
                _Rb_tree_rotate_right(__x->_M_parent->_M_parent, __root);
            }
        }
        else { // 下面的代码是镜像得出的, 脑补吧.
            _Rb_tree_node_base* __y = __x->_M_parent->_M_parent->_M_left;
            if (__y && __y->_M_color == _S_rb_tree_red) {
                __x->_M_parent->_M_color = _S_rb_tree_black;
                __y->_M_color = _S_rb_tree_black;
                __x->_M_parent->_M_parent->_M_color = _S_rb_tree_red;
                __x = __x->_M_parent->_M_parent;
            }
            else {
                if (__x == __x->_M_parent->_M_left) {
                    __x = __x->_M_parent;
                    _Rb_tree_rotate_right(__x, __root);
                }
                __x->_M_parent->_M_color = _S_rb_tree_black;
                __x->_M_parent->_M_parent->_M_color = _S_rb_tree_red;
                _Rb_tree_rotate_left(__x->_M_parent->_M_parent, __root);
            }
        }
    }
    __root->_M_color = _S_rb_tree_black;
}

// 删除算法, 直接调用底层的删除实现 _Rb_tree_rebalance_for_erase().
template <class _Key, class _Value, class _KeyOfValue,class _Compare, class _Alloc>
inline void _Rb_tree<_Key, _Value, _KeyOfValue, _Compare, _Alloc>::erase(iterator __position)
{
    _Link_type __y =
        (_Link_type)_Rb_tree_rebalance_for_erase(__position._M_node,
            _M_header->_M_parent,
            _M_header->_M_left,
            _M_header->_M_right);
    destroy_node(__y);
    --_M_node_count;
}

// 删除节点底层实现, 删除可能会破坏红黑树性质,
// _Rb_tree_rebalance()
// 负责维持性质. 其中:
// __z 需要删除的节点
// __root 根节点
// __leftmost 红黑树内部数据, 即最左子树
// __rightmost 红黑树内部数据, 即最右子树
// 策略概述: _Rb_tree_rebalance_for_erase() 会根据
// 删除节点的位置在红黑树中找到顶替删除节点的节点,
// 即无非是删除节点左子树的最大节点或右子树中的最小节点,
// 此处用的是有一种策略. 接着, 会调整红黑树以维持性质.
// 调整的算法已经在上篇文章中详述, 可以根据上篇文章的描述
// 和此篇的代码注释, 加深对红黑树删除算法的理解.
inline _Rb_tree_node_base* _Rb_tree_rebalance_for_erase(
    _Rb_tree_node_base* __z,
    _Rb_tree_node_base*& __root,
    _Rb_tree_node_base*& __leftmost,
    _Rb_tree_node_base*& __rightmost)
{
    // __z 是要删除的节点

    // __y 最终会指向要删除的节点
    _Rb_tree_node_base* __y = __z;
    // N 节点
    _Rb_tree_node_base* __x = 0;
    // 记录 N 节点的父节点
    _Rb_tree_node_base* __x_parent = 0;

    // 只有一个孩子或者没有孩子的情况
    if (__y->_M_left == 0)     // __z has at most one non-null child. y == z.
        __x = __y->_M_right;     // __x might be null.
    else
        if (__y->_M_right == 0)  // __z has exactly one non-null child. y == z.
            __x = __y->_M_left;    // __x is not null.

          // 有两个非空孩子
        else {                   // __z has two non-null children.  Set __y to
            __y = __y->_M_right;   //   __z's successor.  __x might be null.

            // __y 取右孩子中的最小节点, __x 记录他的右孩子(可能存在右孩子)
            while (__y->_M_left != 0)
                __y = __y->_M_left;
            __x = __y->_M_right;
        }

    // __y != __z 说明有两个非空孩子的情况,
    // 此时的删除策略就和文中提到的普通二叉搜索树删除策略一样:
    // __y 记录了 __z 右子树中最小的节点
    // __x 记录了 __y 的右孩子
    // 用 __y 顶替 __z 的位置, __x 顶替 __y 的位置, 最后用 __y 指向 __z,
    // 从而 __y 指向了要删除的节点
    if (__y != __z) {          // relink y in place of z.  y is z's successor

      // 将 __z 的记录转移至 __y 节点
        __z->_M_left->_M_parent = __y;
        __y->_M_left = __z->_M_left;

        // 如果 __y 不是 __z 的右孩子, __z->_M_right 有左孩子
        if (__y != __z->_M_right) {

            __x_parent = __y->_M_parent;

            // 如果 __y 有右孩子 __x, 必须有那个 __x 替换 __y 的位置
            if (__x)
                // 替换 __y 的位置
                __x->_M_parent = __y->_M_parent;

            __y->_M_parent->_M_left = __x;      // __y must be a child of _M_left
            __y->_M_right = __z->_M_right;
            __z->_M_right->_M_parent = __y;
        }
        // __y == __z->_M_right
        else
            __x_parent = __y;

        // 如果 __z 是根节点
        if (__root == __z)
            __root = __y;

        // __z 是左孩子
        else if (__z->_M_parent->_M_left == __z)
            __z->_M_parent->_M_left = __y;

        // __z 是右孩子
        else
            __z->_M_parent->_M_right = __y;

        __y->_M_parent = __z->_M_parent;
        // 交换需要删除节点 __z 和 替换节点 __y 的颜色
        __STD::swap(__y->_M_color, __z->_M_color);
        __y = __z;
        // __y now points to node to be actually deleted
    }
    // __y != __z 说明至多一个孩子
    else {                        // __y == __z
        __x_parent = __y->_M_parent;
        if (__x) __x->_M_parent = __y->_M_parent;

        // 将 __z 的父亲指向 __x
        if (__root == __z)
            __root = __x;
        else
            if (__z->_M_parent->_M_left == __z)
                __z->_M_parent->_M_left = __x;
            else
                __z->_M_parent->_M_right = __x;

        // __leftmost 和 __rightmost 是红黑树的内部数据, 因为 __z 可能是
        // __leftmost 或者 __rightmost, 因此需要更新.
        if (__leftmost == __z)
            if (__z->_M_right == 0)        // __z->_M_left must be null also
              // __z 左右孩子都为空, 没有孩子
                __leftmost = __z->_M_parent;
        // makes __leftmost == _M_header if __z == __root
            else
                __leftmost = _Rb_tree_node_base::_S_minimum(__x);

        if (__rightmost == __z)
            if (__z->_M_left == 0)         // __z->_M_right must be null also
                __rightmost = __z->_M_parent;
        // makes __rightmost == _M_header if __z == __root
            else                      // __x == __z->_M_left
                __rightmost = _Rb_tree_node_base::_S_maximum(__x);

        // __y 同样已经指向要删除的节点
    }

    // __y 指向要删除的节点
    // __x 即为 N 节点
    // __x_parent 指向 __x 的父亲, 即 N 节点的父亲
    if (__y->_M_color != _S_rb_tree_red) {
        // __y 的颜色为黑色的时候, 会破坏红黑树性质

        while (__x != __root && (__x == 0 || __x->_M_color == _S_rb_tree_black))
            // __x 不为红色, 即为空或者为黑. 提示: 如果 __x 是红色, 直接将 __x 替换成黑色

            if (__x == __x_parent->_M_left) { // 如果 __x 是左孩子

                _Rb_tree_node_base* __w = __x_parent->_M_right; // 兄弟节点

                if (__w->_M_color == _S_rb_tree_red) {
                    //第 2 情况, S 红, 根据红黑树性质P,SL,SR 一定黑.
                    // 策略: 旋转, 交换 P,S 颜色.

                    __w->_M_color = _S_rb_tree_black;
                    __x_parent->_M_color = _S_rb_tree_red; // 交换颜色
                    _Rb_tree_rotate_left(__x_parent, __root); // 旋转
                    __w = __x_parent->_M_right; // 调整关系
                }

                if ((__w->_M_left == 0 ||
                    __w->_M_left->_M_color == _S_rb_tree_black) &&
                    (__w->_M_right == 0 ||
                        __w->_M_right->_M_color == _S_rb_tree_black)) {
                    // 提示: 这是 第 1 情况和第 2.1 情况的合并, 因为处理的过程是一样的.
                    // 但他们的情况还是要分门别类的. 已经在文章中详细支出,
                    // 似乎大多数的博文中没有提到这一点.

                    // 第 1 情况, N,P,S,SR,SL 都黑.
                    // 策略: S->红. 通过 PN,PS 的黑色节点数量相同了, 但会比其他路径多一个,
                    // 解决的方法是在 P 上从情况 0 开始继续调整.
                    // 为什么要这样呢? HACKS: 因为既然 PN,PS
                    // 路径上的黑节点数量相同而且比其他路径会少一个黑节点,
                    // 那何不将其整体看成了一个 N 节点! 这是递归原理.

                    // 第 2.1 情况, S,SL,SR 都黑.
                    // 策略: P->黑. S->红, 因为通过 N 的路径多了一个黑节点,
                    // 通过 S 的黑节点个数不变, 所以维持了性质 5. over

                    // 可能大家会有疑问, 不对啊, 2.1 的情况,
                    // 策略是交换父节点和兄弟节点的颜色, 此时怎么没有对父节点的颜色赋值呢?
                    // HACKS: 这就是合并情况的好处, 因为就算此时父节点是红色,
                    // 而且也将兄弟节点颜色改为红色, 你也可以将 PS,PN 看成一个红色的 N 节点,
                    // 这样在下一个循环当中, 这个 N 节点也会变成黑色. 因为此函数最后有一句话:
                    // if (__x) __x->_M_color = _S_rb_tree_black;
                    // 合并情况, 节省代码量

                    // 当然是可以分开写的

                    // 兄弟节点染成黑色
                    __w->_M_color = _S_rb_tree_red;

                    // 调整关系
                    __x = __x_parent;
                    __x_parent = __x_parent->_M_parent;
                }
                else {
                    if (__w->_M_right == 0 ||
                        __w->_M_right->_M_color == _S_rb_tree_black) {
                        // 第 2.2.1 情况, S,SR 黑, SL 红.
                        // 策略: 旋转, 变换 SL,S 颜色.

                        if (__w->_M_left) __w->_M_left->_M_color = _S_rb_tree_black;
                        __w->_M_color = _S_rb_tree_red;
                        _Rb_tree_rotate_right(__w, __root);

                        // 调整关系
                        __w = __x_parent->_M_right;
                    }

                    // 第 2.2.2 情况, S 黑, SR 红.
                    // 策略: 旋转, 交换 S,P 颜色, SR->黑色, 重新获得平衡.
                    __w->_M_color = __x_parent->_M_color;
                    __x_parent->_M_color = _S_rb_tree_black;
                    if (__w->_M_right) __w->_M_right->_M_color = _S_rb_tree_black;
                    _Rb_tree_rotate_left(__x_parent, __root);
                    break;
                }                        // 下面的代码是镜像得出的, 脑补吧.
            }
            else {                  // same as above, with _M_right <-> _M_left.
                _Rb_tree_node_base* __w = __x_parent->_M_left;
                if (__w->_M_color == _S_rb_tree_red) {
                    __w->_M_color = _S_rb_tree_black;
                    __x_parent->_M_color = _S_rb_tree_red;
                    _Rb_tree_rotate_right(__x_parent, __root);
                    __w = __x_parent->_M_left;
                }
                if ((__w->_M_right == 0 ||
                    __w->_M_right->_M_color == _S_rb_tree_black) &&
                    (__w->_M_left == 0 ||
                        __w->_M_left->_M_color == _S_rb_tree_black)) {
                    __w->_M_color = _S_rb_tree_red;
                    __x = __x_parent;
                    __x_parent = __x_parent->_M_parent;
                }
                else {
                    if (__w->_M_left == 0 ||
                        __w->_M_left->_M_color == _S_rb_tree_black) {
                        if (__w->_M_right) __w->_M_right->_M_color = _S_rb_tree_black;
                        __w->_M_color = _S_rb_tree_red;
                        _Rb_tree_rotate_left(__w, __root);
                        __w = __x_parent->_M_left;
                    }
                    __w->_M_color = __x_parent->_M_color;
                    __x_parent->_M_color = _S_rb_tree_black;
                    if (__w->_M_left) __w->_M_left->_M_color = _S_rb_tree_black;
                    _Rb_tree_rotate_right(__x_parent, __root);
                    break;
                }
            }
        if (__x) __x->_M_color = _S_rb_tree_black;
    }
    return __y;
}

3.6各种操作的时间复杂度

　　查找、插入、删除：O(logn)

　　插入和删除都要先查找，所以是O(logn)

3.7与AVL平衡二叉搜索树的比较

从操作复杂度看：AVL树和红黑树查找、插入、删除都是O(logn)

进一步考虑：

1）查找：红黑树牺牲了严格平衡，但是保证了最长路径不大于最短路径的两倍，所以查找某个节点也可以保证O(logn)；但是对于大规模数据的查找，AVL树的严格平衡显然使得查询效率更高（查找上：AVL树胜）

2）插入：如果是插入一个节点引起的不平衡，AVL树和红黑树都是最多通过2次旋转来修正，两者均是O(1)。如果新节点的父结点为黑色，那么插入一个红点将不会影响红黑树的平衡。但红黑树这种黑父的情况比较常见，从而使红黑树需要旋转的概率0比AVL树小

3）删除：如果删除某个节点引起了不平衡，AVL树需要维护被删除节点到根节点的整条路径上所有节点的平衡性，需要O(logn)；而红黑树最多只需3次旋转，只需要O(1)

所以说，在大规模数据插入或者删除时，AVL树的效率不如红黑树（插入和删除上：红黑树胜）

4.多路查找树

1）多路查找树的每一个节点的儿子可以多于两个，且每一个节点可以存储多个元素

2）常见的多路查找树有：2-3树、2-3-4树、B树、B+树

3）为什么需要多路查找树：

• 当要处理的数据非常多，多到内存已经装不下，就要把数据存储在磁盘上，从磁盘中把数据读入内存进行处理
• 磁盘I/O操作的基本单位为块，从磁盘上读取数据时，会把包含数据的整个块读入内存，读取磁盘数据的过程：磁头移动到包含所请求数据的磁盘位置上方，然后磁盘旋转至相应位置，磁头将下方的整个块传读入内存：

磁盘数据访问时间= 寻道时间 + 转动延迟 + 数据传送时间

• 如果用平衡树（AVL，RB）作为在磁盘上存储数据的结构，那么平衡树的节点可能不均匀地分布在磁盘的不同块上，这样访问磁盘数据的时间就会显著增加：

• 而B树（一种平衡的多路查找树）有一个重要的特点是每个节点的大小与磁盘块的大小相等，同时每个节点可以存储多个元素，元素的数量可以根据磁盘块的大小而定，这样每次加载一个块就能完整覆盖一个节点，以便选择下一层子树，大大加快磁盘数据的访问速度

参考资料：

https://blog.csdn.net/bit_clearoff/article/details/53197436

5.2-3树

1）2-3树有2节点和3节点

2）2节点包含一个元素和两个儿子（要么没有儿子，要么就有两个儿子），每个节点一定大于等于其左子树中每一个节点，小于等于其右子树每一个节点

3）3节点包含一小一大两个元素和三个儿子（要么没有儿子，要么就有三个儿子），左子树包含小于较小元素的元素，右子树包含大于较大元素的元素，中间子树包含介于两元素之间的元素

4）所有叶子节点在同一层

6.2-3-4树

1）2-3-4树在2-3-4树的基础上多了一种4节点

2）4节点包含小中大三个元素和四个儿子（要么没有儿子，要么就有四个儿子），子树元素大小排列规则类似于3节点

3）所有叶子节点在同一层

7.B树

1）B树是一种平衡的多路查找树，2-3树和2-3-4树都是B树的特例

2）节点的最大孩子数称为B树的阶

3）m阶B树具有以下性质：

• 根节点如果不是叶子节点，则至少有两个儿子
• 每个分支节点都有k-1元素和k个儿子，元素以升序排列，⌈ m/2 ⌉ <= k <= m
• 所有的叶子节点都在同一层
• key [i]和key [i+ 1 ]之间的儿子节点的元素介于key [i]、key [i+ 1 ]之间

4）B树的查找过程是一个查找节点和遍历节点上的所有元素的交叉过程

8.B+树

1）B树的查找过程是一个交叉过程，为了加快B树的遍历效率，产生了B树的变形：B+树

2）n阶B+树具有以下性质：

• 根节点如果不是叶子节点，则至少有两个儿子
• 每个分支节点都有k元素和k个儿子，⌈ m / 2 ⌉ <= k <= m
• 所有的叶子节点都在同一层
• 分支节点仅仅具有索引功能，它存储的元素不包含实际的值，而是其子树最大的（或最小的）关键字，仅仅是用来定位，用来索引，所有的值均存在叶子节点中
• 同一层的叶子节点构成一个升序链表，每个叶子节点里的元素也从小到大排列

3）B+树的查找过程：

4）B+树特别适合带有范围的查找，比如查找18~22岁学生，可以从根节点出发找到第一个18岁的学生，然后在叶子层按顺序结合链表同层查找即可

5）为什么说B+树比B树更适合数据库索引：

• 基于范围的查询是非常频繁的，B+树的区间访问能力强，不用回溯到分支节点，直接在叶子节点这一层完成操作
• B+树磁盘读写的代价更低：B+树的节点少了很多指向儿子的指针，因此其节点能存放更多的关键字，那么一次性读入内存的的关键字也就越多，相对IO读写次数就降低了，效率提高

参考资料：

https://www.cnblogs.com/vincently/p/4526560.html