矩阵快速幂详解

介绍：

矩阵乘法定义自行看百度；

矩阵快速幂顾名思义，就是把多次矩阵乘法用快速幂的形式算出，一般常用于递推的优化；

做法：

如果是裸的矩阵快速幂，做法非常简单，先定义一个数组记录矩阵的每个数值，在做快速幂（快速幂中相应的乘用矩阵乘法代替）；

相关题目：

1、【模板】矩阵快速幂

照上面的方法做就ok了；

注意刚开始ans数组要清成单位矩阵（任何矩阵乘它不变）；

#include<cstdio>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=101,MOD=1000000007;
int n,k,a[MAXN][MAXN],b[MAXN][MAXN],ans[MAXN][MAXN],c[MAXN][MAXN];
//a数组用来记录每次的矩阵
//ans数组为记录答案的数组
//b作为一个暂时存放的数组 （不然每次直接更改a数组就会导致将更改过的数组相乘） 
void ksm(int n,int m)//普通的快速幂 
{
    while(m>1)
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
            b[i][j]=0;
        if(m%2==1)
        {
            for(int i=1;i<=n;++i)
                for(int j=1;j<=n;++j)
                {
                    for(int k=1;k<=n;++k)
                    c[i][j]=(c[i][j]+ans[i][k]*a[k][j]%MOD)%MOD;
                }
            for(int i=1;i<=n;++i)
                for(int j=1;j<=n;++j)
                ans[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                for(int k=1;k<=n;++k)
                b[i][j]=(b[i][j]+a[i][k]*a[k][j]%MOD)%MOD;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
            a[i][j]=b[i][j];
        m=m/2;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            for(int k=1;k<=n;++k)
            c[i][j]=(c[i][j]+ans[i][k]*a[k][j]%MOD)%MOD;
        }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
        ans[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
}
main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j) scanf("%lld",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    ans[i][i]=1;
    ksm(n,k);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=n;++j)
        printf("%lld ",ans[i][j]%MOD);
        printf("
");
    }
    return 0;
}

2、用矩阵快速幂优化的斐波那契数列

做法类似，斐波那契数列递推式为f[i]=f[i-1]+f[i-2]；

由f[i-2] f[i-1]推出f[i-1] f[i]，把两边都看成矩阵，$1 imes 2$的矩阵$ imes $$2 imes 2$的矩阵=$1 imes 2$的矩阵，所以稍稍推算就能算出需要的矩阵；

要求的f[n]=f[1]$ imes 矩阵 ^ n$；

接着就用矩阵快速幂求出答案；

#include<cstdio>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=101,MOD=1000000007;
int n,k,a[MAXN][MAXN],ans[MAXN][MAXN],c[MAXN][MAXN];
//a数组用来记录每次的矩阵
//ans数组为记录答案的数组
//b作为一个暂时存放的数组 （不然每次直接更改a数组就会导致将更改过的数组相乘）
void ksm(int m)
{
    while(m>1)
    {
        if(m%2==1)
        {
            for(int i=1;i<=2;++i)
                for(int j=1;j<=2;++j)
                    for(int k=1;k<=2;++k)
                    c[i][j]=(c[i][j]+ans[k][j]*a[i][k]%MOD)%MOD;
            for(int i=1;i<=2;++i)
                for(int j=1;j<=2;++j)
                ans[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=2;++i)
            for(int j=1;j<=2;++j)
                for(int k=1;k<=2;++k)
                c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*a[k][j]%MOD)%MOD;
        for(int i=1;i<=2;++i)
            for(int j=1;j<=2;++j)
            a[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
        m=m/2;
    }
    for(int i=1;i<=2;++i)
        for(int j=1;j<=2;++j)
        {
            for(int k=1;k<=2;++k)
            c[i][j]=(c[i][j]+ans[k][j]*a[i][k]%MOD)%MOD;
        }
    for(int i=1;i<=2;++i)
        for(int j=1;j<=2;++j)
        ans[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
}
main()
{
    scanf("%lld",&n);
    a[1][1]=0;
    a[2][1]=1;
    a[1][2]=1;
    a[2][2]=1;
    //求出的所需要的矩阵 
    for(int i=1;i<=2;++i)
    ans[i][i]=1;
    ksm(n-1);
    printf("%lld",ans[2][2]%MOD);
    return 0;
}

3、稍微变化的fibonacci

同理，找出f[i-3] f[i-2] f[i-1] 变为 f[i-2] f[i-1] f[i] 的矩阵；

再用矩阵快速幂；

#include<cstdio>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=101,MOD=1000000007;
int n,k,a[MAXN][MAXN],ans[MAXN][MAXN],c[MAXN][MAXN],t;
//a数组用来记录每次的矩阵
//ans数组为记录答案的数组
//b作为一个暂时存放的数组 （不然每次直接更改a数组就会导致将更改过的数组相乘）
void ksm(int m)
{
    while(m>1)
    {
        if(m%2==1)
        {
            for(int i=1;i<=3;++i)
                for(int j=1;j<=3;++j)
                    for(int k=1;k<=3;++k)
                    c[i][j]=(c[i][j]+ans[k][j]*a[i][k]%MOD)%MOD;
            for(int i=1;i<=3;++i)
                for(int j=1;j<=3;++j)
                ans[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=3;++i)
            for(int j=1;j<=3;++j)
                for(int k=1;k<=3;++k)
                c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*a[k][j]%MOD)%MOD;
        for(int i=1;i<=3;++i)
            for(int j=1;j<=3;++j)
            a[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
        m=m/2;
    }
    for(int i=1;i<=3;++i)
        for(int j=1;j<=3;++j)
        {
            for(int k=1;k<=3;++k)
            c[i][j]=(c[i][j]+ans[k][j]*a[i][k]%MOD)%MOD;
        }
    for(int i=1;i<=3;++i)
        for(int j=1;j<=3;++j)
        ans[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
}
main()
{
    scanf("%lld",&t);
    for(int kk=1;kk<=t;++kk)
    {
        scanf("%lld",&n);
        a[1][1]=0;
        a[2][1]=1;
        a[3][1]=0;
        a[1][2]=0;
        a[2][2]=0;
        a[3][2]=1;
        a[1][3]=1;
        a[2][3]=0;
        a[3][3]=1;
        //求出的所需要的矩阵 
        for(int i=1;i<=3;++i)
        ans[i][i]=1;
        ksm(n-1);
        printf("%lld
",ans[3][3]%MOD);
        for(int i=1;i<=3;++i)
            for(int j=1;j<=3;++j)
            ans[i][j]=0;
    }
}