剑指offer-2：斐波那契数列

二、斐波那契数列

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。 n<=39

1.递归法

1). 分析 斐波那契数列的标准公式为：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*） 根据公式可以直接写出：

2). 代码 

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n<=1){
            return n;
        }
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
}

3). 复杂度

时间复杂度：O(2^n)

空间复杂度：O(1)

2. 优化递归

1). 分析

递归会重复计算大量相同数据，我们用个数组把结果存起来8！

2). 代码

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        int ans[] = new int[40];
        ans[0] = 0;
        ans[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            ans[i] = ans[i-1] + ans[i-2];
        }
        return ans[n];
    }
}

3). 复杂度：

时间复杂度：O(n)

时间复杂度：O(n)

3. 优化存储

1). 分析

其实我们可以发现每次就用到了最近的两个数，所以我们可以只存储最近的两个数，sum 存储第 n 项的值， one 存储第 n-1 项的值， two 存储第 n-2 项的值。

2). 代码

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0){
            return 0;
        }else if(n == 1){
            return 1;
        }
        int sum = 0;
        int two = 0;
        int one = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            sum = two + one;
            two = one;
            one = sum;
        }
        return sum;
    }
}

3). 复杂度：

时间复杂度：O(n)

时间复杂度：O(1)

4. 持续优化

1). 分析

观察上一版发现，sum 只在每次计算第 n 项的时候用一下，其实还可以利用 sum 存储第 n-1 项，例如当计算完 f(5) 时 sum 存储的是 f(5) 的值，当需要计算 f(6) 时，f(6) = f(5) - f(4)，sum 存储的 f(5)，f(4) 存储在 one 中，由 f(5)-f(3) 得到 如图：     

2). 代码

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0){
            return 0;
        }else if(n == 1){
            return 1;
        }
        int sum = 1;
        int one = 0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            sum = sum + one;
            one = sum - one;
        }
        return sum;
    }
}

3）. 复杂度

时间复杂度：O(n)

时间复杂度：O(1)