Mophues
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题意
求出满足 (gcdleft(a，b ight) = k)，其中(1leq aleq n，1leq b leq m)且 (k) 的因子数 (leq P)
思路
(gleft(x
ight)) 表示 (gcdleft(a, b
ight) | x) 的对数
(fleft(x
ight)) 表示 (gcdleft(a, b
ight) = x) 的对数
根据莫比乌斯反演有
[ fleft(n
ight) = sum_{n|d} gleft(d
ight)\
gleft(n
ight) = sum_{n|d} muleft(frac{d}{n}
ight) fleft(d
ight) \
]
根据题意
[ fleft(x
ight) = lfloorfrac{n}{x}
floor lfloorfrac{m}{x}
floor \
]
那么可以得到
[egin{aligned}
ans &= sum_{kin 条件} sum_{k|d} muleft(frac{d}{k}
ight) lfloorfrac{n}{d}
floorlfloorfrac{m}{d}
floor\
&= sum_{d}lfloorfrac{n}{d}
floorlfloorfrac{m}{d}
floor sum_{k|d}muleft(frac{d}{k}
ight) left(k in 条件
ight)
end{aligned}
]
因 (n leq 10^{5})，其中最多的因子数不会超过 (19)。
令 (c[d][p]) 表示 (sum_{k|d}muleft(frac{d}{k}
ight))，其中 (k) 的因子数(leq p)。通过 (nlogn) 暴力打表出 (p<=19) 的情况，当 (p>19) 时，所有的对数都满足条件。
由于 (lfloorfrac{n}{d}
floor lfloorfrac{m}{d}
floor) 的存在，需要整除分块，所以对于求出来的 (c[d][p]) 还需要统计前缀和。
/***************************************************************
> File Name : a.cpp
> Author : Jiaaaaaaaqi
> Created Time : 2019年07月17日 星期三 14时38分33秒
***************************************************************/
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cfloat>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define lowbit(x) x & (-x)
#define mes(a, b) memset(a, b, sizeof a)
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int, int>
typedef unsigned long long int ull;
typedef long long int ll;
const int maxn = 5e5 + 10;
const int maxm = 1e5 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;
const ll INF = 1e18 + 100;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
using namespace std;
int n, m, P;
int cas, tol, T;
int pri[maxn], mob[maxn], cnt[maxn];
ll c[maxn][20];
bool ispri[maxn];
void handle() {
mes(pri, 0), mes(ispri, 1);
tol = 0;
int mx = 5e5;
mob[1] = 1;
cnt[1] = 0;
for(int i=2; i<=mx; i++) {
if(ispri[i]) {
pri[++tol] = i;
mob[i] = -1;
cnt[i] = 1;
}
for(int j=1; j<=tol&&i*pri[j]<=mx; j++) {
ispri[i*pri[j]] = false;
cnt[i*pri[j]] = cnt[i]+1;
if(i%pri[j] == 0) {
mob[i*pri[j]] = 0;
break;
} else {
mob[i*pri[j]] = -mob[i];
}
}
}
mes(c, 0);
for(int i=1; i<=mx; i++) {
for(int j=i; j<=mx; j+=i) {
c[j][cnt[i]] += mob[j/i];
}
}
for(int i=1; i<=mx; i++) {
for(int j=1; j<=19; j++) {
c[i][j] += c[i][j-1];
}
}
for(int i=1; i<=mx; i++) {
for(int j=0; j<=19; j++) {
c[i][j] += c[i-1][j];
}
}
}
int main() {
handle();
scanf("%d", &T);
while(T--) {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &P);
if(n > m) swap(n, m);
if(P > 19) {
printf("%lld
", 1ll*n*m);
continue;
}
ll ans = 0;
int l = 0, r;
for(int i=1; i<=n; i++) {
r = min(n/(n/i), m/(m/i));
ans += 1ll*(n/i)*(m/i)*(c[r][P]-c[l][P]);
i = r;
l = r;
}
printf("%lld
", ans);
}
return 0;
}