毒瘤计数题汇总

2020.9.26 开始写此文以试图挽救我那可怜的计数

loj #6069 塔

首先考虑塔的顺序固定了以后的方案数。假设当我们把塔“压”到最紧的时候塔所占用的区域长为 (k)，那么我们剩下要做的就只剩下把剩余的空间分配给每个塔了。直接插板法统计即可。显然：

[k = 1 + sum_{i < n}max(h_i,h_{i+1}) ]

我们可以枚举全排列，每次 (O(n)) 统计，复杂度为 (O(n! imes n))，这仅比暴力的 (O(d^n)) 要好些，不过至少与 (d) 无关了。

现在我们需要知道对于每个 (k) 的排列数。根据套路，我们将 (h) 从小到大排序后依次插入，这样当 (i) 插入的时候其余的塔就都可以看作一样的了，该塔对 (k) 的贡献即为两边比它小的塔的个数。但是我们还需要知道当前这个 (i) 还能往哪几个地方插入能够“在旁边有比它小的塔”。我们可以记空隙的个数为 (j)，当然也可以记“段”的个数为 (j)。即我们把DP过程看作不断加入并产生/合并段的过程，最终合并成一个段。

状态：(f(i)(j)(k)) 表示插入了前 (i) 个塔，当前有 (j) 个段，(k) 值为 (k) 的排列数。初始化：(f(1)(1)(1) = 1)，转移：

[egin{aligned} f(i-1)(j)(k) ( imes (j + 1)) & o f(i)(j+1)(k)\ ( imes 2j) & o f(i)(j)(k+i)\ ( imes (j-1)) & o f(i)(j-1)(k+2i) end{aligned}]

最终 (f(n)(1)(k)) 即为我们想要的排列数。

NOIP模拟赛T2 树上的僵尸

树上找 (m) 条不超过 (k) 的路径，且不存在一个点 (p) 被所有路径经过的方案数。(k < n le 10^3,mle 10^9)

考虑容斥。不超过 (k) 的路径数容易求出，记为 (tot)，那么显然总方案数即为 (tot^m)。现考虑计算不合法方案。

方法一(jzp)

我们尝试用类似二项式反演的方法来减去不合法方案。显然如果存在一些点被所有路径经过，这些点一定组成一条链。设 (g_i) 表示这条链长为 (i)（边数为 (i)）的方案数。但是 (g_i) 仍然难在多项式时间内算出，于是我们设 (f_i) 表示我们钦定长为 (i) 的链被所有路径经过的方案数。显然 (f_i) 会多算很多东西，(f,g) 有关系式：

[f_i = sum_{d ge i}(d-i+1)g_d ]

发现并不是二项式反演的标准式子，但是仔细观察发现：

[egin{aligned} f_0 &= g_0 + 2g_1 + 3g_2 + 4g_3 + ...\ f_1 &= g_1 + 2g_2 + 3g_3 + 4g_4 + ... end{aligned}]

而总的不合法方案数为：

[g_0 + g_1 + g_2 + ... ]

于是 (f_0 - f_1) 即为答案。其中 (f_0,f_1) 均可以 (O(n^2)) 快速算出。

方法二(zzz & std)

考虑对于每条链，我们仅在其最浅的那个点（LCA）处计算贡献。枚举那个 LCA，答案即为“所有路径均经过 LCA” - “所有路径均经过 LCA 及其父亲”。直接算即可。

有趣的是，最后算的东西其实与方法一相同。

卡农

可以先算出合法“序列”的数量，最后除以阶乘即可。

考虑DP。设 (f(i)) 表示长为 (m) 的合法的“序列”个数。合法的意思是:无空集；不重复；每个元素都出现了偶数次。

考虑容斥求 (f(i))。如果我们能够找出前 (i-1) 个元素（共 (A_{2^n-1}^{i-1}) 种方案），那么根据“每个元素都出现偶数次”，可以确定最后一个集合是什么。但是可能会有不合法的情况。可以将不合法的情况分为两种：出现重复（最后一个集合与之前某个集合重复，去除重复后恰好是 (f(i-2))，故方案数为 (f(i-2)(i-1)(2^n-1-(i-2)))）；最后那个集合为空（(f(i-1))）。

[f(i)=A_{2^n-1}^{i-1}-f(i-1)-f(i-2)(i-1)(2^n-i+1) ]

递推即可。