$a imes bequiv 1(mod p)$ ,那么 $a,b$ 互为对方$mod p$ 意义下的逆元。
法1：扩展欧几里得
$$
a imes bequiv 1(mod p)
$$
$$
a imes b+k imes p=1
$$
效率 $O(logn)$
法2：费马小定理/欧拉定理
费马小定理：
若 $p$ 为质数，则有
$$
a^{p-1}equiv 1(mod p)
$$
$$
a^{p-2} imes aequiv1(mod p)
$$
所以 $a^{p-2}$ 就是 $a$ 在$mod p$ 意义下的逆元。
欧拉定理：
若 $a,p$ 互质，则有
$$
a^{varphi(p)}equiv1(mod p)
$$
$$
a^{varphi(p)-1} imes aequiv 1(mod p)
$$
所以 $a^{varphi (p)-1}$ 就是 $a$ 在$mod p$ 意义下的逆元。
效率 $O(logp)$
法3：线性求逆元
（$p$ 需要是一个质数）
我们求 $i^{-1}$ 在$mod p$ 意义下的值。
$$
p=k imes i+r
$$
令 $r<i$ 则 $k=frac{p}{i},r=p\%i$
$$
k imes i+requiv 0(mod p)
$$
同时除以 $i,r$
$$
k imes r^{-1}+i^{-1}equiv 0(mod p)
$$
$$
i^{-1}equiv-k imes r^{-1}(mod p)
$$
$$
i^{-1}equiv-frac{p}{i} imes inv[p\%i]
$$
$$
inv[i]=(p-frac{p}{i}) imes inv[p\%i]
$$
边界：$inv[1]=1$
效率 $O(n)$
法4：中国剩余定理
对于模数非质数的情况，
可以对模数质因数分解，让这个数对每个模数的每个因子求逆元，再用中国剩余定理合并。