最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

上面的链接讲解的比较详细，下面是我自己的理解

Dijkstra算法

1.定义

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。也就是从一个顶点出发，往外层层遍历，直到终点，此过程也得到了此顶点到其余任意点的最短路径（距离）。（此算法要求图中不存在负权）

权值就是距离

2.算法描述

1）算法思想：

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合S（S for Sure初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合U（U for Unsure）。

初始时，所有除v₀=0外，其余所有顶点权值为∞。从S中新加入的顶点v（最开始为v₀）出发，遍历U中与v有边的顶点，将权值最小的（边最短）顶点v'_min加入到S中,以v'_min为中间点，修正与v'有边的顶点的权值（v-->v'_min-->v'' 小于 v-->v'',若大于则不用修改），直到U中的顶点全部加入到了S中。

2）算法步骤

　　a.初始时，S只包含源点，即S＝{v₀}，v₀的权值为0。U包含除v₀外的其他顶点，即:U={其余顶点}，其余顶点的权值为∞

　　b.从S中新加入的顶点v（初始时为v₀）出发，从U中选取一个距离v最小的顶点v'_min，把v'_min加入S中（该选定的距离就是v到v'的最短路径长度）。

　　c.以v'_min为新考虑的中间点，修改U中各顶点的权值；若v-->v'_min-->v'' 小于 v-->v'',若大于则不用修改 (如果原来为∞显然是要修改的)

　　d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

算法时间复杂度为O(n²)

3.算法代码实现：

----------------------------------------以后再加----------------------------------------

Floyd算法

1、定义

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

求所有顶点至所有顶点的最短路径

2、算法描述

1）算法思想

 　　Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2）算法描述：　

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

------------------未完待续----------------------