动态规划Dynamic Programming: Rod-Cutting Problem

动态规划可求最优解问题，但有条件限制，每一层最优解可知。

递归动态规划

与分治思想有类似之处，但在递归基础上，用一张表存储计算过程中每一层的”最优解“，避免重复计算已经得出的计算结果。

Rod-Cutting Problem

问题描述：

给你一根长n英尺的棒子和一份关于该棒子的价目表如下（其中 i = 1,2,3,…,n），请问如何将这根棒子卖出最高的价格，可以对棒子进行切割。

thinking path:

从i=1 to 10进行枚举尝试，例如，砍1米开始砍，那么剩下的9米就会成为新的”问题“，进行递归。易得递推式：

r(i)=max(p[i]+r(n-i));  n为rod总长

根据递推式，写出递归伪代码:

CUT(p,n)

  if n==0 return 0;

  for (int i = 1; i <= n; i++) 

     q = max(q,p[i]+cut(p,n-i));

     return q;

结合Dynamic Programming思想：

用一个数组result来存放每一段的结果。

CUT(result,p,n)

  if (r[n]>=0) return r[n]

  if n==0 return 0

  else

      q=-∞

      for (int i = 1; i <= n; i++)

           if (q<p[i]+cut(result,p,n-i))

                   q=max(p[i]+cut(result,p,n-i))

      r[n]=q

      return r[n]

完整C++代码如下:

#include <iostream>


using namespace std;


//m is the total
int cut(int* table, int n, int* r) {
    if (r[n-1]>=0) return r[n-1]; //r 存放切长度为n时的最优解，避免重复运算直接返回
    if (n == 0) {
        return 0;
    } else {
        //需要一个当前状态下最优解的临时参数存储
        int temp = -9999;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int p_rest = cut(table,n-i,r);
            if (temp < p_rest + table[i-1]) {
              temp = p_rest+table[i-1];
            }
        }
        r[n-1]=temp;
        return r[n-1];
    }
}
int main() {
    int table[] = {1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};

    int *result = new int[10];

    for (int i = 0; i < 10; i++) {
     result[i] = -1;
    }
    
    cout << cut(table,6,result) << endl;

    return 0;
}