[笔记] 数论函数小记

1.定义

• $epsilon(n)=egin{cases} 1& n=1 \ 0& n >1 end{cases}$
• $I(n)=1$
• $id(n)=n$
• $d(n)$因子个数
• $sigma(n)$因数和
• $mu (n)$莫比乌斯函数
• $varphi (n)$欧拉函数

2.狄利克雷卷积

• $h(n)=sum_{d|n}space f(d)g(frac{n}{d})$
• $h=f*g$

• 性质：

1. 交换律$(f∗g=g∗f)$；
2. 结合律$((f∗g)∗h=f∗(g∗h))$；
3. 分配律$((f+g)∗h=f∗h+g∗h)$；

• 举个例子，对于交换律，我们看狄利克雷卷积的式子，实质上就是$n$的每一个约数带入$f$中的值，乘上与之对应的约数在$g$中的值。
• 常见的（加深理解）：
• $d=I*I$
• $sigma=id*I$
• $varphi=mu*id$

3.莫比乌斯函数：

　　(1)$sum_{d|n}mu(d)=egin{cases}1& ext{n=1}\ 0& ext{n>1} end{cases}= epsilon(n)$,即$mu*I=epsilon$

• 对于 $n=1$，等式显然成立。
• 设 $n> 1$ 并写 $n=p_1^{a_1}…p_k^{a_k}$ ，在 $sum_{d|n}mu{(d)}$ 中非零的项仅来自于 $d=1$ 与 $n$ 的约数是不同素数的乘积，即
• $sum_{d|n}mu{(d)} \ = mu(1)+mu(p_1)+…+mu(p_k)+mu(p_1p_k)+…+mu(p_{k-1}p_k)+…+mu(p_1p_2…p_k) \ =1+inom{k}{1}(-1)+inom{k}{2}(-1)^2+…+inom{k}{k}(-1)^k \=0$

　　(2)$sum_{d|n}frac{mu(d)}{d}=frac{varphi(n)}{n}$

• 证明：
• 首先$sum_{d|n}varphi(d)=n$
• 即$varphi*I=id$
• 所以$varphi*I*mu=id*mu$
• 所以$varphi*epsilon=id*mu$
• 所以$varphi(n)=sum_{d|n}mu(d)*frac{n}{d}$
• 再把两边同除以n
• $frac{varphi(n)}{n}=sum_{d|n}frac{mu(d)}{d}$

　　(3)莫比乌斯反演

• 定义：$F(n)$和$f(n)$是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足

$F(n)=sum_{d|n}f(d)$

• 那么有

$f(n)=summu(d) F(frac{n}{d})$

• 这个定理称之为莫比乌斯反演
• 大致证明：
• $F(n)=sum_{d|n}f(d)$
• 即$F=f*I$
• 然后都卷上$mu$
• $F*mu=f*I*mu$
• 因为狄利克雷卷积具有交换律和结合律，又因为$mu*I=epsilon$
• 所以$f*(I*mu)=f*epsilon=f$，所以$f=mu*F$
• 带回狄利克雷卷积得到原式
• 对于莫比乌斯反演，还有一种常用的式子：

$F(n)=sum_{n|d}f(d)$

• 有

$f(n)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d)$

• 大致证明：
• $sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d)$
• $=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})sum_{d|x}f(x)$
• $=sum_{n|x}f(x) sum_{n|d且d|x} mu(frac{d}{n})$
• $=sum_{n|x}f(x)sum_{d'|frac{x}{n}}mu(d')$
• $=sum_{n|x}f(x)epsilon(frac{x}{n})$
• $=f(n)$

线性筛$mu(n)$

inline void MU(int n) {
    mu[1]=1; for(R i=2;i<=n;++i) {
        if(!vis[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(R j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=n;++j) {
        
    vis[i*pri[j]]=true; 
            if(i%pri[j]==0) break;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}    

• 一些进入题目的方法（大佬博客）：

1. 形如$sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^M[gcd(i,j)==1]$,直接换成$sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^Msum_{d|gcd(i,j)}mu(d)$,然后把$d$提出来,写成$sum_{i=1}^{frac{N}{d}}sum_{j=1}^{frac{M}{d}}sum_{d=1}^Nmu(d)$，即$sum_{d=1}^Nmu(d)lfloorfrac{N}{d} floorlfloorfrac{M}{d} floor$
2. 形如$sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^M[gcd(i,j)==k]$,直接改成$sum_{i=1}^{lfloorfrac{N}{k} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{M}{k} floor}[gcd(i,j)==1]$
3. 形如$sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^Mij[gcd(i,j)==k]$（见大佬博客）
4. 形如$sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^Mlcm(i,j)$(见我的or大佬博客)
5. 形如$sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^Mgcd(i,j)$,直接用欧拉反演化成$sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^Msum_{d|gcd(i,j)}varphi(d)$,然后把$d$提出来$sum_{i=1}^{lfloor frac{N}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{M}{d} floor}sum_{d=1}^Nvarphi(d)$,即$sum_{d=1}^Nvarphi(d)lfloor frac{N}{d} floor lfloor frac{M}{d} floor$
6. 所以当有一个类似$sum_{d|gcd(i,j)}$的式子时，大致要把它拆掉，把$i.j$除以$n$,成为$.../n,sum_{d=1}^{N}$（显然=。=）

4.整除分块

• 求$sum_{i=1}^n lfloor frac{n}{i} floor$时，
• 随便$O(n)$求，可是我们要$O(sqrt{n})$去求；
• 通过观察，发现$ lfloor frac{n}{i} floor $在一定区间内是不变的，并且每个区间的右端点都是$n/ lfloor n/i floor $，得出这个结论后就可以$O(sqrt{n})$去求

  for(R l=1,r;l<=n;l=r+1) {
      r=min(n/(n/l),n); 
      ans+=(r-l+1)*(n/l);
  }

• 有时候，可能推出来的式子不一定就是一个很裸的整除分块，可能会与某些积性函数相乘，如：$mu,varphi$...... 这时候，我们就需要对这些函数统计一个前缀和。因为，每当我们使用整除分块跳过一个区间的时候，其所对应的函数值也跳过了一个区间。所以此时，就需要乘上那一个区间的函数值。

5.欧拉函数

• 有一个性质$sum_{d|n} varphi(d)=n$（这很重要！！！）
• 所以造就了欧拉反演（雾）（大佬的详解）
• 求$sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^Mspace gcd(i,j)space(n<m)$
• 原式
• $=sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^Msum_{d|gcd(i,j)}varphi(d)$
• 把$d$提出来
• $=sum_{i=1}^{lfloor frac{N}{d} floor} sum_{j=1}^{lfloor frac{M}{d} floor} sum_{d=1}^Nvarphi(d)$
• $=sum_{d=1}^{N}varphi(d)lfloor frac{N}{d} floorlfloor frac{M}{d} floor$