高斯消元。。。当初以为自己学会了。。。后来。。。
话说这个东西好像最早出现于《九章算术》诶(古代人就是强)
废话不说,进入正题。。。
前置知识
高斯消元法是解线性方程组的方法之一
首先,线性方程组了解一下:
可认为线性方程组就是一次方程组。如图:
如果存在常数c1,c2,c3,...,cn代替x1,x2,x3,...,xn,使上图的每个方程成立,则称(c1,c2,c3,...,cn)为方程组的一个解. 解方程就是求其全部解
显然对线性方程组进行以下三种变换,所得方程组解集不变(这三种变换被称为同解变换)
(1) 对换两个方程(换法变换)(其实就是交换两个方程的位置,上下交换) ;
(2) 用非零数 c 乘以某一个方程(倍法变换);
(3) 把某一个方程的 k 倍加到另一个方程上去( 消法变换) .
的确显然吧...
再来了解一下矩阵(=_=):
由 s*n 个数 aij ( i = 1, 2, … , s; j = 1, 2, … , n) 排成的矩形表(可理解为长是n,宽是s的二维数组。。),称为 s 行 n 列矩阵 .aij称为矩阵的( i , j) 元 .通常用大写字母或 ( aij )sn 表示矩阵 .如果 s = n(长等于宽)称A是 n 阶方阵或 n 阶矩阵 .
全零矩阵记做Osn,或O;
n阶单位矩阵记做Inn,或I(单位矩阵是个方阵,从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1。除此以外全都为0。)
对于矩阵(aij)sn、(bij)ns,若aij=bji(1<=i<=s,1<=j<=n)则称B为A的转置矩阵,记做B=AT
另:系数矩阵和增广矩阵
把线性方程组的系数aij列入矩阵,称为系数矩阵。
如图:
而在系数矩阵右侧加入一列常数项,称其为增广矩阵。
如图:
(好吧增广矩阵就是类似把未知数扣掉了再扔到矩阵里。。)
对矩阵的行(列)做 线性方程组 的三种同解变换(上面的),称为矩阵的初等变换。
高斯消元法
对方程组的增广矩阵做初等变换,将系数部分化为对角线,上三角形,或阶梯形
思路:找到一个不为零的系数,设其所在行为pos,列为i,然后拿这个数去消掉其它行,但同列的数;但是消元的时候要有一定顺序
步骤:
先把一个个方程扔到矩阵中,构建增广矩阵
然后从第i行(i从1到n,按顺序)开始,在i+1行到n中的第i列(上面的方程已经符合上三角性质了)选取一个不为零的系数,记其所在行为pos,
交换第pos行与第i行,然后pos行变成了第i行(注:后面的第i行为交换完后的,即交换前的pos行)
至于为什么要找最大的,这样有利于提高精度。。(学长说的。。)
于是拿第i行的第i项去消i+1行到n行的第i项
这样可以消成上三角矩阵;
然后从最后一行开始,向上消去不需要的系数(最后一行只有一个系数,可以直接计算答案)
代码(Luogu 模板):
#include<cstdio> #include<iostream> #define R register int using namespace std; const double eps=1E-11; inline int g() { R ret=0,fix=1; register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) fix=ch=='-'?-1:fix; do ret=ret*10+(ch^48); while(isdigit(ch=getchar())); return ret*fix; } int n; double a[110][110]; inline bool ck0(double x) {return x<eps&&x>-eps;} inline void Gauss() { for(R i=1,pos;i<=n;++i) { pos=i; for(R j=i+1;j<=n;++j) if(ck0(a[pos][i])||a[pos][i]<a[j][i]) pos=j; if(pos!=i) for(R j=1;j<=n+1;++j) swap(a[i][j],a[pos][j]); if(ck0(a[i][i])) {printf("No Solution "); return ;} for(R j=i+1;j<=n;++j) { register double tmp=a[j][i]/a[i][i]; for(R k=1;k<=n+1;++k) a[j][k]-=tmp*a[i][k]; } } for(R i=n;i>=1;--i) { for(R j=n;j>i;--j) a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];//把这行系数代表的答案消掉 a[i][n+1]/=a[i][i]; } for(R i=1;i<=n;++i) printf("%.2lf ",a[i][n+1]); } signed main() { n=g(); for(R i=1;i<=n;++i) for(R j=1;j<=n+1;++j) a[i][j]=g(); Gauss(); }
(例题)
Luogu P3389 【模板】高斯消元法
Luogu P4035 [JSOI2008]球形空间产生器
POJ1830
etc.
2019.05.10