• [NOI2012]骑行川藏


    题目描述

    蛋蛋非常热衷于挑战自我,今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景,但在这一路上也有着很多的艰难险阻,路况变化多端,而蛋蛋的体力十分有限,因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。

    由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车,因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功(不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响)。某一天他打算骑N段路,每一段内的路况可视为相同:对于第i段路,我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ,其中 si 表示这段路的长度, ki 表示这段路的风阻系数, vi' 表示这段路上的风速(表示在这段路上他遇到了顺风,反之则意味着他将受逆风影响)。若某一时刻在这段路上骑车速度为v,则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2(这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变,则他消耗能量(做功)E = ki ( v - vi' )2 s)。

    设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ,请帮助他设计一种行车方案,使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

    输入输出格式

    输入格式:

    第一行包含一个正整数N和一个实数Eu,分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。

    接下来N行分别描述N个路段,每行有3个实数 si , ki , vi' ,分别表示第 i 段路的长度,风阻系数以及风速。

    输出格式:

    输出一个实数T,表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间,要求至少保留到小数点后6位。

    输入输出样例

    输入样例#1: 
    3 10000
    10000 10 5
    20000 15 8
    50000 5 6
    输出样例#1: 
    12531.34496464

    说明

    【数据规模与约定】

    对于10%的数据,N=1;

    对于40%的数据,N<=2;

    对于60%的数据,N<=100;

    对于80%的数据,N<=1000;

    对于所有数据,N <= 10000,0 <= Eu <= 108,0 < si <= 100000,0 < ki <= 1,-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

    【提示】

    必然存在一种最优的体力方案满足:蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

    初学拉格朗日乘数法。

    把原函数和约束函数*μ合成之后,我们要让每个变量的偏导是0.

    对于本题来说,就是对于任意i,有2 * μ * k[i] * (x[i] - v[i]) = 1 (这个求一下导就好了嘛)

    并且有 (∑k[i] * s[i] * (x[i] - v[i])^2 - E)=0 ,(μ的偏导,因为本题只有一个约束。。。)

    然后发现μ一定的时候,每个x可以二分求出来;

    然后又因为μ越小的时候x越大,而此时μ的偏导也越大。

    所以μ的偏导关于μ也有单调性。

    所以我们直接二分μ即可。

    #include<bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    #define D double
    #define maxn 10005
    using namespace std;
    const D eps=1e-12;
    D E,s[maxn],u[maxn];
    D k[maxn],v[maxn],tot=0;
    int n;
    
    inline void calc(int pos,D miu){
    	D l=u[pos],r=1e9,mid;
    	while(r-l>=eps){
    		mid=(l+r)/2;
    		if(2.00*miu*k[pos]*mid*mid*(mid-u[pos])>=1.00) r=mid;
    		else l=mid;
    	}
    	v[pos]=mid;
    }
    
    inline bool work(D miu){
    	D energy=0;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		calc(i,miu);
    		energy+=k[i]*s[i]*(v[i]-u[i])*(v[i]-u[i]);
    	}
    	return E-energy>=-eps;
    }
    
    int main(){
    	scanf("%d%lf",&n,&E);
    	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",s+i,k+i,u+i);
    	D l,r,mid,an;
    	l=0.0,r=1e9;
    	while(r-l>=eps){
    		mid=(l+r)/2;
    		if(work(mid)) r=mid;
    		else l=mid;
    	}
    	
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		calc(i,mid);
    		tot+=s[i]/v[i];
    	}
    	
    	printf("%.11lf
    ",tot);
    	return 0;
    }
    

      

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