基本数据结构――堆的基本概念及其操作
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在我刚听到堆这个名词的时候，我认为它是一堆东西的集合．．．
但其实吧它是利用完全二叉树的结构来维护一组数据，然后进行相关操作，一般的操作进行一次的时间复杂度在
O(1)~O(logn)之间。
可谓是相当的引领时尚潮流啊(我不信学信息学的你看到log和1的时间复杂度不会激动一下下)！。
什么是完全二叉树呢？别急着去百度啊，要百度我帮你百度：
若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中
在最左边，这就是完全二叉树。我们知道二叉树可以用数组模拟，堆自然也可以。
现在让我们来画一棵完全二叉树：
从图中可以看出，元素的父亲节点数组下标是本身的1/2(只取整数部分)，所以我们很容易去模拟，也很
容易证明其所有操作都为log级别~~
堆还分为两种类型：大根堆、小根堆
顾名思义，就是保证根节点是所有数据中最大/小，并且尽力让小的节点在上方
不过有一点需要注意：堆内的元素并不一定数组下标顺序来排序的！！很多的初学者会错误的认为大/小根堆中
下标为1就是第一大/小，2是第二大/小……
原因会在后面解释，现在你只需要深深地记住这一点！
我们刚刚画的完全二叉树中并没有任何元素，现在让我们加入一组数据吧！
下标从1到9分别加入：{8，5，2，10，3，7，1，4，6}。
如下图所示
（不要问我怎么加，想想你是怎么读入数组的。）
我们可以发现这组数据是杂乱无章的，我们该如何去维护呢？
现在我就来介绍一下堆的几个基本操作：
- 上浮 shift_up；
- 下沉 shift_down
- 插入 push
- 弹出 pop
- 取顶 top
- 堆排序 heap_sort
学习C/C++的同学有福利了，堆的代码一般十分之长，而我们伟大的STL模板库给我们提供了两种简单方便堆操作的方式，
想学习的可以看看这个：http://www.cnblogs.com/helloworld-c/p/4854463.html 密码: abcd111
我个人建议吧，起码知道一下实现的过程，STL只能是锦上添花，绝不可以雪中送炭!!
万一哪天要你模拟堆的某一操作过程，而你只知道STL却不知道原理，看不出这个题目是堆，事后和其他OIer
讨论出题解，那岂不是砍舌头吃苦瓜，哭得笑哈哈。
那么我们开始讲解操作过程吧，我们以小根堆为例
刚刚那组未处理过的数据中我们很容易就能看出，根节点1元素8绝对不是最小的
我们很容易发现它的一个儿子节点3(元素2)比它来的小，我们怎么将它放到最高点呢？很简单，直接交换嘛~~
但是，我们又发现了，3的一个儿子节点7(元素1)似乎更适合在根节点。
这时候我们是无法直接和根节点交换的，那我们就需要一个操作来实现这个交换过程，那就是上浮 shift_up。
操作过程如下：
从当前结点开始，和它的父亲节点比较，若是比父亲节点来的小，就交换，
然后将当前询问的节点下标更新为原父亲节点下标；否则退出。
模拟操作图示:
伪代码如下：
Shift_up( i ) { while( i / 2 >= 1) { if( 堆数组名[ i ] < 堆数组名[ i/2 ] ) { swap( 堆数组名[ i ] , 堆数组名[ i/2 ]) ; i = i / 2; } else break; ｝
这一次上浮完毕之后呢，我们又发现了一个问题，貌似节点3(元素8)不太合适放在那，而它的子节点7(元素2)
好像才应该在那个位置。
此时的你应该会说:“赐予我力量，让节点7上浮吧，我是OIer！”
然而，上帝(我很不要脸的说是我)赐予你另外一种力量，让节点3下沉！
那么问题来了：节点3应该往哪下沉呢？
我们知道，小根堆是尽力要让小的元素在较上方的节点，而下沉与上浮一样要以交换来不断操作，所以我们应该
让节点7与其交换。
由此我们可以得出下沉的算法了：
让当前结点的左右儿子(如果有的话)作比较，哪个比较小就和它交换，
并更新询问节点的下标为被交换的儿子节点下标，否则退出。
模拟操作图示：
伪代码如下：
Shift_down( i , n ) //n表示当前有n个节点 { while( i * 2 <= n) { T = i * 2 ; if( T + 1 <= n && 堆数组名[ T + 1 ] < 堆数组名[ T ]) T++; if( 堆数组名[ i ] < 堆数组名[ T ] ) { swap( 堆数组名[ i ] , 堆数组名[ T ] ); i = T; } else break; }
讲完了上浮和下沉，接下来就是插入操作了~~~~
我们前面用的插入是直接插入，所以数据才会杂乱无章，那么我们如何在插入的时候边维护堆呢？
其实很简单，每次插入的时候呢，我们都往最后一个插入，让后使它上浮。
(这个不需要图示了吧…)
伪代码如下：
Push ( x ) { n++; 堆数组名[ n ] = x; Shift_up( n ); }
咳咳，说完了插入，我们总需要会弹出吧~~~~~
弹出，顾名思义就是把顶元素弹掉，但是，弹掉以后不是群龙无首吗？？
我们如何去维护这堆数据呢?
稍加思考，我们不难得出一个十分巧妙的算法：
让根节点元素和尾节点进行交换，然后让现在的根元素下沉就可以了!
(这个也不需要图示吧…)
伪代码如下：
Pop ( x ) { swap( 堆数组名[1] , 堆数组名[ n ] ); n--; Shift_down( 1 ); }
接下来是取顶…..我想不需要说什么了吧，根节点数组下标必定是1，返回堆[ 1 ]就OK了~~
注意：每次取顶要判断堆内是否有元素，否则..你懂的
图示和伪代码省略，如果你这都不会那你可以重新开始学信息学了，当然如果你是小白….这种稍微高级的数据
结构还是以后再说吧。
说完这些，我们再来说说堆排序。之前说过堆是无法以数组下标的顺序来来排序的对吧?
所以我个人认为呢，并不存在堆排序这样的操作，即便网上有很多堆排序的算法，但是我这里有个更加方便的算法：
开一个新的数组，每次取堆顶元素放进去，然后弹掉堆顶就OK了~
伪代码如下：
Heap_sort( a[] ) { k=0; while( size > 0 ) { k++; a[ k ] = top(); pop(); } }
堆排序的时间复杂度是O(nlogn)理论上是十分稳定的，但是对于我们来说并没有什么卵用。
我们要排序的话，直接使用快排即可，时间更快，用堆排还需要O(2*n)的空间。这也是为什么我说堆的操作
时间复杂度在O(1)~O(logn)。
讲完到这里，堆也基本介绍完了，那么它有什么用呢？？
举个粒子，比如当我们每次都要取某一些元素的最小值，而取出来操作后要再放回去，重复做这样的事情。
我们若是用快排的话，最坏的情况需要O(q*n^2)，而若是堆，仅需要O(q*logn)，时间复杂度瞬间低了不少。
还有一种最短路算法——Dijkstra，需要用到堆来优化，这个算法我后面会找个时间介绍给大家。
最后附上我写的一份堆操作的代码(C++)：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #define maxn 100010 //这部分可以自己定义堆内存多少个元素 6 using namespace std; 7 struct Heap 8 { 9 int size,queue[maxn]; 10 Heap() //初始化 11 { 12 size=0; 13 for(int i=0;i<maxn;i++) 14 queue[i]=0; 15 } 16 void shift_up(int i) //上浮 17 { 18 while(i>1) 19 { 20 if(queue[i]<queue[i>>1]) 21 { 22 int temp=queue[i]; 23 queue[i]=queue[i>>1]; 24 queue[i>>1]=temp; 25 } 26 i>>=1; 27 } 28 } 29 void shift_down(int i) //下沉 30 { 31 while((i<<1)<=size) 32 { 33 int next=i<<1; 34 if(next<size && queue[next+1]<queue[next]) 35 next++; 36 if(queue[i]>queue[next]) 37 { 38 int temp=queue[i]; 39 queue[i]=queue[next]; 40 queue[next]=temp; 41 i=next; 42 } 43 else return ; 44 } 45 } 46 void push(int x) //加入元素 47 { 48 queue[++size]=x; 49 shift_up(size); 50 } 51 void pop() //弹出操作 52 { 53 int temp=queue[1]; 54 queue[1]=queue[size]; 55 queue[size]=temp; 56 size--; 57 shift_down(1); 58 } 59 int top(){return queue[1];} 60 bool empty(){return size;} 61 void heap_sort() //另一种堆排方式，由于难以证明其正确性 62 { //我就没有在博客里介绍了，可以自己测试 63 int m=size; 64 for(int i=1;i<=size;i++) 65 { 66 int temp=queue[m]; 67 queue[m]=queue[i]; 68 queue[i]=temp; 69 m--; 70 shift_down(i); 71 } 72 } 73 }; 74 int main() 75 { 76 Heap Q; 77 int n,a,i,j,k; 78 cin>>n; 79 for(i=1;i<=n;i++) 80 { 81 cin>>a; 82 Q.push(a); //放入堆内 83 } 84 85 for(i=1;i<=n;i++) 86 { 87 cout<<Q.top()<<" "; //输出堆顶元素 88 Q.pop(); //弹出堆顶元素 89 } 90 return 0; 91 }
推荐一道堆的基本操作的题目：
CODEVS 1063 合并果子 ：http://codevs.cn/problem/1063/