【bzoj1010】玩具装箱toy——斜率优化dp

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第一道自己推的斜率优化dp><

首先要明确一点：装进同一个容器的toys一定要是连着的几个（否则的话可以直接贪心）-->之前理解错题意WA了一次......

用sum[i]表示前缀和，f[i]表示前i个装进容器的最小费用，

容易知道

　　f[i]=max(f[i],f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-(j+1)-l)²)（j<i）

令k<j<i，若要使f[j]>f[k]，则需要满足：

　　f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-(j+1)-l)²<f[k]+(sum[i]-sum[k]+i-(k+1)-l)²

令t[i]=sum[i]+i，则移项，可得：

　　f[j]-f[k]+(t[j]-t[k])*(t[j]+t[k])<2(t[i]-l-1)(t[j]-t[k])

即：

　　(f[j]-f[k]+t[j]²-t[k]²)/(t[j]-t[k])<2*(t[i]-l-1)

令g[i]=f[i]+t[i]²，则有

　　(g[j]-g[k])/(t[j]-t[k])<2*(t[i]-l-1)。

用s(i,j)表示i到j连线的斜率，

对于一个单调队列，每次对于队首，若s(q[h],q[h+1])<2*(ti-l-1)，则此时的q[h]一定不会是现在和以后的最优解，h++；

对于队尾，若s(q[t-2],q[t-1])>s(q[t-1],i)，如果s(q[t-2],q[t-1])<2*(t[i]-l-1)，则s(q[t-1],i)<2*(t[i]-l-1)，由i>q[t-1]可知此时i比q[t-1]要优；如果s(q[t-2],q[t-1])>2*(t[i]-l-1)，则q[t-2]要比q[t-1]优。所以无论如何q[t-1]都不会是最优解，此时t--。

接着就是斜率优化dp的套路了：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
const int maxn=5e4+5;
using namespace std;
LL a[maxn],q[maxn],sum[maxn],g[maxn],t[maxn],f[maxn];
inline LL read()
{
    LL anss=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){anss=anss*10+c-48;c=getchar();}
    return anss*f;
}
inline double cal(LL a,LL b)
{
    return 1.0*(g[a]-g[b])/(t[a]-t[b]);
}
int main()
{
    int n,l;
    sum[0]=0;
    scanf("%d %d",&n,&l);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        t[i]=sum[i]+i;
    }
    int h=0,ta=1;q[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(h<ta-1&&cal(q[h],q[h+1])<2*(t[i]-l-1))h++;
        f[i]=f[q[h]]+(t[i]-t[q[h]]-l-1)*(t[i]-t[q[h]]-l-1);
        g[i]=f[i]+t[i]*t[i];
        while(h<ta-1&&cal(q[ta-1],q[ta-2])>cal(q[ta-1],i))ta--;
        q[ta++]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}