各种反演

莫比乌斯反演

形式一

$$F(n)=sumlimits_{d|n}f(d)Rightarrow f(n)=sumlimits_{d|n}mu(frac n d)F(d)$$

形式二

$$F(n)=sumlimits_{n|d}f(d)Rightarrow f(n)=sumlimits_{n|d}mu(frac d n)F(d)$$

二项式反演

形式一

$$f(n)=sumlimits_{i=0}^n(-1)^iinom{n}{i}g(i)Rightarrow g(n)=sumlimits_{i=0}^n(-1)^iinom{n}{i}f(i)$$

形式二

$$f(n)=sumlimits_{i=0}^ninom{n}{i}g(i)Rightarrow g(n)=sumlimits_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}{i}f(i)$$

形式三

$$f(k)=sumlimits_{i=k}^ninom{i}{k}g(i)Rightarrow g(k)=sumlimits_{i=k}^n(-1)^{i-k}inom{i}{k}f(i)$$

斯特林反演

形式一

$$f(n)=sumlimits_{i=0}^negin{Bmatrix}n \iend{Bmatrix}g(i)Rightarrow g(n)=sumlimits_{i=0}^n(-1)^{n-i}egin{bmatrix}n \iend{bmatrix}f(i)$$

形式二

$$f(k)=sumlimits_{i=k}^negin{Bmatrix}i \kend{Bmatrix}g(i)Rightarrow g(n)=sumlimits_{i=k}^n(-1)^{i-k}egin{bmatrix}i \kend{bmatrix}f(i)$$

最值反演（Min-Max容斥）

形式一

$$max{S}=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}min{T}$$

形式二

$$min{S}=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}max{T}$$

形式三

$$max_k{S}=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}inom{|T|-1}{k-1}min{T}$$

形式四

$$min_k{S}=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}inom{|T|-1}{k-1}max{T}$$

子集反演

形式一

$$f(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}g(T)Rightarrow g(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f(T)$$

形式二

$$f(S)=sumlimits_{Ssubseteq T}g(T)Rightarrow g(S)=sumlimits_{Ssubseteq T}(-1)^{|S|-|T|}f(T)$$

形式三

设$mu(S)=(-1)^{|S|}[S中没有重复元素]$

$$f(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}g(T)Rightarrow g(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}mu(S-T)f(T)$$

形式四

$$f(S)=sumlimits_{Ssubseteq T}g(T)Rightarrow g(S)=sumlimits_{Ssubseteq T}mu(T-S)f(T)$$