LG P1587 [NOI2016]循环之美

Description

牛牛是一个热爱算法设计的高中生。在他设计的算法中，常常会使用带小数的数进行计算。牛牛认为，如果在 $k$ 进制下，一个数的小数部分是纯循环的，那么它就是美的。现在，牛牛想知道：对于已知的十进制数$n$和 $m$，在 $k$ 进制下，有多少个数值上互不相等的纯循环小数，可以用分数$frac xy$ 表示,其中$1 leq x leq n,1 leq y leq m$，且 $x,y$是整数。一个数是纯循环的，当且仅当其可以写成以下形式：

$$a. dot{c_1} c_2 c_3 dots c_{p-1} dot{c_p}$$

其中，$a$ 是一个整数，$p geq 1$；对于 $1 leq i leq p$，$c_i$是 $k$ 进制下的一位数字。

例如，在十进制下，$0.45454545……=0.dot{4}dot{5}$是纯循环的，它可以用 $frac {5}{11}$ 、$frac{10}{22}$等分数表示；在十进制下，$0.16666……=0.1dot{6}$ 则不是纯循环的，它可以用 $frac 16$等分数表示。需要特别注意的是，我们认为一个整数是纯循环的，因为它的小数部分可以表示成 $0$的循环或是 $k-1$ 的循环；而一个小数部分非 $0$ 的有限小数不是纯循环的。

Solution

 假设 $frac{x}{y}$的循环节长度为 $l$

$Rightarrow [frac{xk^l}{y}]=[frac{x}{y}]$

中括号表示小数部分

$$ frac{xk^l}{y}-lfloorfrac{xk^l}{y} floor=frac{x}{y}-lfloorfrac{x}{y} floor$$

$$ xk^l-lfloorfrac{xk^l}{y} floor*y=x-lfloorfrac{x}{y} floor*y $$

$$ xk^lequiv xmod y $$

$$ k^lequiv1mod y $$

$$ (k,y)=1 $$

要求最简分数,所以 $(x,y)=1$

所以所求为

$$ Ans=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)=1][(j,k)=1] $$

egin{align}
f(n,m,k) & =sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)=1][(j,k)=1]\
& =sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)=1]sum_{d|(j,k)}mu(d) \
& =sum_{i=1}^nsum_{jd=1}^m[(i,jd)=1]sum_{d|jd,d|k}mu(d)\
& =sum_{d|k}mu(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{frac{m}{d}}[(i,jd)=1]\
& =sum_{d|k}mu(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{frac{m}{d}}[(i,j)=1][(i,d)=1]\
& =sum_{d|k}mu(d)f(frac{m}{d},n,d)
end{align}

 处理边界，数论分块套杜教筛即可