孙子定理的内容：
给出以下的一元线性同余方程组：
$(S):egin{cases}xequiv a_1pmod{m_1}\xequiv a_2pmod{m_2}\ldots\xequiv a_npmod{m_n}end{cases}$
假设整数$m_1,m_2,ldots ,m_n$两两互质，则对任意的整数：$a_1,a_2,ldots a_n$，方程组$(S)$有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设$M=m_1 imes m_2 imes ldots imes m_n=prod_{i=1}^n m_i$，并设$M_i=frac{M}{m_i},forall iin egin{Bmatrix}1,2,ldots nend{Bmatrix}$
设$t_i=M_i^{-1}$为$M_i$模$m_i$的数论倒数（$t_i$为$M_i$模$m_i$意义下的逆元），即$M_it_iequiv 1pmod{m_i},forall iin egin{Bmatrix}1,2,ldots ,nend{Bmatrix}$.
方程组$(S)$的通解形式为$x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+ldots a_nt_nM_n+kM=kM+sum_{i=1}^n a_it_iM_i,kin Z$.
在模$M$的意义下，方程组$(S)$只有一个解：$x=egin{pmatrix} sum_{i=1}^n a_it_iM_iend{pmatrix} pmod{M}$
证明：
从假设可知，对任何$iin egin{Bmatrix}1,2,ldots ,nend{Bmatrix},j e i,gcd(m_i,m_j)=1$，所以$gcd(m_i,M_i)=1$.
这说明存在整数$t_i$使得$t_iM_iequiv 1pmod{m_i}$.这样的$y_i$叫做$M_i$模$m_i$的数论倒数。
考察乘积$a_it_iM_i$可知：
$$a_it_iM_iequiv a_i imes 1equiv a_ipmod{m_i}$$
$$forall jin egin{Bmatrix}1,2,ldots ,nend{Bmatrix},j e i,a_it_iM_iequiv 0pmod{m_j}$$
所以$x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+ldots +a_nt_nM_n$满足：
$$forall iin egin{Bmatrix} 1,2,dots ,nend{Bmatrix},x=a_it_iM_i+sum_{j e i}a_jt_jM_jequiv a_i+sum_{j e i}0equiv a_ipmod{m_i}$$
这说明$x$就是方程组$(S)$的一个解。
另外，假设$x_1$和$x_2$都是方程组$(S)$的解，那么：
$$forall iin egin{Bmatrix}1,2,ldots ,nend{Bmatrix},x_1-x_2equiv 0pmod{m_i}$$
而$m_1,m_2,ldots m_n$两两互质，这说明$M=prod_{i=1}^n m_imid x_1-x_2$，所以方程组$(S)$的任何两个解之间必然相差$M$的整数倍。而另一方面，$x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+ldots a_nt_nM_n$是一个解，同时所有格式为：
$$a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+ldots a_nt_nM_n+kM=kM+sum_{i=1}^n a_it_iM_i,kin Z$$
的整数也是方程组$(S)$的解。所以方程组所有的解的集合就是：$egin{Bmatrix} kM+sum_{i=1}^n a_it_iM_i,kin Zend{Bmatrix}$.