前言
你打开了“P4000 斐波那契数列”一题；
你发现是已经写过 (mathrm{998244853}) 遍的求 (mathrm{Fib}_n)；
你熟练地写出矩阵快速幂并提交；
你得到了一版的 (mathrm{TLE}) ，因为 (n leq 10^{30000000})；
你点开了题解，发现第一篇题解一大片公式和定理；
你向下滑动界面，其他的题解都直接摆结论。
相信经历了这么多的你心中满满的“我太难了”。
那么这篇题解将拯救你于水火之中（？）
前置芝士
- 主角：生日悖论；
- 辅助结论：模数为 (p) 的斐波那契循环节长度 (pi(p) leq 6p)；
- (O(sqrt p)-O(1)) 快速幂，LOJ有模板题。
关于辅助结论的证明，因为前置结论比较多 （实际上是我不会） ，故在本篇题解中被省略。如果你有条件，可以参考 (mathrm{Wikipedia}) 中的 (mathrm{Pisano Period}) 条目，其中有证明。
所以实际上这个做法也有很多前置。但是相比纯数论做法，结论只有这一个，而且这个结论很好记。
算法流程
一件显然的事情是需要计算斐波那契数列的循环节。暴力做法基本没有优化空间，考虑：设循环节长度为 (pi(p))，对于 (i eq j) ，如果 (mathrm{Fib}_i = mathrm{Fib}_j) 且 (mathrm{Fib}_{i+1} = mathrm{Fib}_{j+1})，那么(pi(p) mid j-i)。也就是说如果找到两个位置 (i,j) 满足条件就可以得到循环节长度的某个倍数。
因为只需求值，所以求出(pi(p))的真实值没有必要，求出其倍数也可以接受。所以可以利用随机化得到一个新算法：每一次随机两个数 (i,j)，计算 (mathrm{Fib}_i , mathrm{Fib}_{i+1} , mathrm{Fib}_j , mathrm{Fib}_{j+1}) 的值判断是否相等。
显然这个做法是期望 (O(p)) 的，跟暴力没有区别。但我们可以换一个角度描述这个问题：每一次随机两个位置 (i,j)，相当于随机两个数 (x = i mod pi(p)) 和 (y = j mod pi(p))，如果 (x=y) 就可以找到循环节的倍数。
可以发现这个问题与“生日悖论”问题基本一致。利用生日悖论思想，每一次随机两个命中概率很小，但随机三个、四个、很多个位置，随着随机的数量增长，命中概率是以平方级别增长的。
所以可以得到一个更优秀的算法：使用一个哈希表记录之前随机到的所有 ((mathrm{Fib}_i , mathrm{Fib}_{i+1} , i)) 三元组，每次随机位置 (j) 并得到 ((mathrm{Fib}_j , mathrm{Fib}_{j+1} , j))，如果在哈希表中可以找到满足 (mathrm{Fib}_i = mathrm{Fib}_j) 且 (mathrm{Fib}_{i+1} = mathrm{Fib}_{j+1}) 的三元组 ((mathrm{Fib}_i , mathrm{Fib}_{i+1} , i))，就可以得到循环节的某个倍数。
根据生日悖论，上述算法在期望 (O(sqrt p)) 次内可以完成寻找。使用 (O(sqrt p) - O(1)) 矩阵/扩域快速幂实现求斐波那契数，可以做到 (O(sqrt p)) 求出循环节。
后话
这个做法是在复习Pollard-rho算法时 打隔膜 翻到有博客记录 (pi(p) leq 6p) 时浮现的。如果在考场上遇到了类似问题，只需要信仰猜想循环节长度为模数级别、把 (frac{ ext{循环节长度}}{ ext{模数}}) 这个常数估计大一些然后套用本题做法就可以了，拓展性比较高。
如果想求 (pi(p)) 的真实值，只需要枚举算出来的循环节的约数然后逐个判断即可。
Show me the Code.
两个实现细节：
- 建议随机位置上界大于 (12p)，否则期望次数可能会退化。代码中的随机上界是 (2^{36})，选择二的次幂作为模数（或许）可以最小化因为取模导致的
mt19937_64随机不均匀问题。 - (p < 2^{31}) 所以可以直接用一个
long long存下 ((mathrm{Fib}_i,mathrm{Fib}_{i+1})) 二元组，然后就可以用unordered_map实现哈希表了。
与此同时这份代码常数比较大。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
unordered_map < ull , ll > circ; ll len;
int MOD , MX = 1 << 18; mt19937_64 rnd(time(0));
struct matrix{
ll arr[2][2];
matrix(){memset(arr , 0 , sizeof(arr));}
ll* operator [](int x){return arr[x];}
friend matrix operator *(matrix p , matrix q){
matrix x;
for(int i = 0 ; i < 2 ; ++i)
for(int j = 0 ; j < 2 ; ++j)
for(int k = 0 ; k < 2 ; ++k)
x[i][k] += p[i][j] * q[j][k];
for(int i = 0 ; i < 2 ; ++i)
for(int j = 0 ; j < 2 ; ++j) x[i][j] %= MOD;
return x;
}
}G , T[2][1 << 18 | 1];
signed main(){
static char str[300000003]; scanf("%s %d" , str + 1 , &MOD);
T[0][0][0][0] = T[0][0][1][1] = T[1][0][0][0] = T[1][0][1][1] = 1;
T[0][1][0][1] = T[0][1][1][0] = T[0][1][1][1] = 1;
for(int i = 2 ; i <= MX ; ++i) T[0][i] = T[0][i - 1] * T[0][1];
T[1][1] = T[0][MX]; for(int i = 2 ; i <= MX ; ++i) T[1][i] = T[1][i - 1] * T[1][1];
while(1){
ll x = (rnd() << 28 >> 28); matrix C = T[0][x & (MX - 1)] * T[1][x >> 18];
ull val = ((1ull * C[0][0]) << 32) | C[0][1];
if(circ.find(val) != circ.end()){len = abs(circ[val] - x); break;}
circ[val] = x;
}
ll sum = 0;
for(int i = 1 ; str[i] ; ++i) sum = (sum * 10 + str[i] - '0') % len;
cout << (T[0][sum & (MX - 1)] * T[1][sum >> 18])[0][1];
return 0;
}