[题解] 密码 | 简单计数

同步发表于 Mina！

题目大意

对于满足以下要求的长度为 \(n\) 的序列进行计数：

• 序列的值域为 \([1,k]\);

• 对于序列的任意位置 \(p\in[1,n]\)，可以找到至少一个 \(i\) 满足 \(p\in[i,i+k-1]\)，且区间 \([i,i+k-1]\) 为一个 \(1\sim k\) 的排列。

\(n\le10^5,k\le100\)

解题思路

其实原本题意不是这样的，试图描述正式之后好像更难懂了。

密码是一个长度为 \(n\) 的序列。

密码由若干个 \(1\sim k\) 的排列拼接而成，且拼接时，不同排列可重叠。

于是不妨设 \(f_i\) 为最后一个完整排列的结尾是 \(i\) 的方案数。于是可以列出转移式：

\[f_i=\sum_{j=1}^{k}f_{i-j}\times g_{j} \]

\(g_j\) 即在一个 \(1\sim k\) 的排列后接上 \(j\) 个数，使得满足以下两个条件的方案数：

• \([j+1,j+k]\) 是一个 \(1\sim k\) 的排列，

• 对于任意 \(1<i<=j,[i,i+k-1]\) 不是一个 \(1\sim k\) 的排列。

直接拿 \(1,2,3\cdots k\) 来考虑 \(g_j\) 怎么求，那么即要求一个 \(1\sim j\) 的排列，对于任意 \(i<j\)，这个排列 \([1,i]\) 的前缀位置上不能是一个 \(1\sim i\) 的排列，求满足条件的排列个数。

考虑容斥，首先令 \(g_j=j!\)，然后考虑减去不合法的，对于一个不合法的排列，它可能存在若干个前缀符合 \([1,i]\) 是一个 \(1\sim i\) 的排列，那么我们枚举每一个不合法排列最后一个违反限制的前缀，在这个位置将其减去。

假设当前枚举到 \(i\)，首先 \([1,i]\) 这部分肯定是 \(i!\) 种填法，而 \([i+1,j]\) 这部分，由于我们钦定 \(i\) 是最后一个违反限制的前缀，故 \([1,i]\)与 \([i+1,j]\) 相接不可再违反限制，即对于任意 \(i<p<j,[i+1,p]\) 这一段上不能是将 \(i+1\sim p\) 这些数任意排列的结果，于是就变成子问题了，乘上 \(g_{j-i}\) 就好了。

所以就是两个简单的式子：

\[g_i=i!-\sum_{j=1}^{i-1}j!\times g_{i-j}\\ f_i=\sum_{j=1}^{k}f_{i-j}\times g_{j} \]

\(f_n\) 就是答案了，然后这个题大概还可以搞什么矩阵快速幂或者线性递推，前者感觉没必要，后者我不了解，于是就到此为止了 QwQ。