【CF600E】Lomset gelral 题解（树上启发式合并）

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题目大意：给出一颗含有$n$个结点的树，每个节点有一个颜色。求树中每个子树最多的颜色的编号和。

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树上启发式合并(dsu on tree)。

我们先考虑暴力怎么做。遍历整颗树，暴力枚举子树然后用桶维护颜色个数。这样做是$O(n^2)$的，显然会T。我们需要一种更快的算法：树上启发式合并。

关于启发式算法的介绍，详见OI Wiki。本文只介绍树上启发式合并算法。本题的解法：

每处理完一颗子树，我们都要把桶清空一次，以免对它的兄弟造成影响。而这样做还要从它的祖先遍历一遍，浪费时间。

我们发现：遍历最后一颗子树时，桶是不用清空的。因为遍历完那颗子树后可以直接把答案加入$ans$中。那我们肯定选重儿子啊，省时省力。遍历轻儿子相对不费事。

看起来是不是没有快多少？实际上它是$O(nlog n)$的。下面是证明：

对于每个节点，它被计算的次数就是它到根节点路径的轻边个数。

而结点往上跳一次，子树大小至少为原来两倍，所以轻边个数最多是$log n$。所以时间复杂度$O(nlog n)$。

证明过程跟树链剖分的有点像。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,color[200005],bucket[200005],ans[200005];
int size[200005],son[200005],sum,mx;
int head[200005],cnt;
struct node
{
    int next,to;
}edge[200005];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add(int from,int to)
{
    edge[++cnt].next=head[from];
    edge[cnt].to=to;
    head[from]=cnt;
}
inline void dfs_son(int now,int fa)
{
    size[now]=1;
    int mx=0,p=0;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (to==fa) continue;
        dfs_son(to,now);
        size[now]+=size[to];
        if (size[to]>mx)
        {
            mx=size[to];
            p=to;
        }
    }
    if (p) son[p]=1;
}
void getans(int x,int f,int p){
    bucket[color[x]]++;
    if(bucket[color[x]]>mx){
        mx=bucket[color[x]];
        sum=color[x];
    }else if(bucket[color[x]]==mx)sum+=color[x];
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
        int y=edge[i].to;
        if(y==f || y==p)continue;
        getans(y,x,p);
    }
}
inline void init(int now,int fa)
{
    bucket[color[now]]--;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (to==fa) continue;
        init(to,now);
    }
}
inline void dfs(int now,int fa)
{
    int p=0;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (to==fa) continue;
        if (!son[to])
        {
            dfs(to,now);
            init(to,now);
            sum=mx=0;
        }
        else p=to;
    }
    if (p) dfs(p,now);
    getans(now,fa,p);
    ans[now]=sum;
}
signed main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) color[i]=read();
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs_son(1,0);
    dfs(1,0);
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",ans[i]);
    return 0;
}