【BalticOI2003】Gem 题解（树形DP）

题目大意：

给树上每一个结点赋值（值为正整数），要求相邻结点的权值不能相同。问树上最小权值和。$nleq 10000$。

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设$f[i][j]$表示以$i$为根的子树，根权值为$j$时子树的最小权值和。

朴素的$DP$是$n^3$的。这里我们有个结论：树上用到的颜色不超过$log_{2} n$个。下面给出证明（orz大佬）：

假设我们找到点$i$为树的重心。根据重心的性质，它的最大子树的结点数不超过$frac{n}{2}$。考虑一种最差的情况：假设每棵子树的重心都要染上新的颜色。递归的次数是$log$次，所以树上用到的颜色不超过$log_{2} n$个。

这样$j$最大是$14$，总复杂度$(log^{2} n)*n$。

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更新：解释一下01染色法为什么不对。

假设现在有一棵树，某些结点它有很多很多个子节点（不是子树），为了保证答案的最优性，必须保证这些子节点权值为$1$。现在考虑父节点。假设这些父节点都是相连的，所以这些父节点权值不能相同。如果父节点的个数大于$2$，那么必须引入大于$2$的权值来保证最优解。因此01贪心法是不对的。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[10005][21];
int head[20005],cnt;
int n,ans=0x3f3f3f3f;
struct node
{
    int next,to;
}edge[20005];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f; 
}
void add(int from,int to)
{
    edge[++cnt].next=head[from];
    edge[cnt].to=to;
    head[from]=cnt;
}
void dfs(int now,int fa)
{
    for (int i=1;i<=20;i++) f[now][i]=i;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (to==fa) continue;
        dfs(to,now);
        for (int j=1;j<=20;j++)
        {
            int minn=0x3f3f3f3f;
            for (int k=1;k<=20;k++)
            {
                if (j!=k) minn=min(minn,f[to][k]);
            }
            f[now][j]+=minn;
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs(1,0);
    for (int i=1;i<=20;i++) ans=min(ans,f[1][i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}