前置知识
位运算，状态压缩基本原理。
| 二进制操作 | 符号 | 运算规则 |
|---|---|---|
| 按位与 | & | 对于每一位二进制数比较，如果都为 1 取 1，否则取 0 |
| 按位或 | | | 对于每一位二进制数比较，如果都为 0 取 0，否则取 1 |
| 按位非 | ~ | 对于每一位二进制，0 变成 1，1 变成 0 |
| 按位左移 | << | 将这个数的二进制表示向左移动一位，越界丢弃，低位补 0 |
| 按位右移 | >> | 将这个数的二进制表示向右移动一位，越界丢弃，高位补 0 |
| 按位异或 | ^ | 对于每一位二进制数比较，如果两个不同取 1，否则取 0 |
这种运算较为简便，而且常数非常小，在非状态压缩的情况下也经常使用。
二进制数压缩 bool 数组操作
| 操作 | 运算 |
|---|---|
| 取出整数 (n) 在二进制表示下的第 (k) 位 | (n >> k) & 1 |
| 取出整数 (n) 在二进制表示下的后 (k) 位 | n & ((1 << k) - 1) |
| 将整数 (n) 在二进制表示下的第 (k) 位取反 | n ^ (1 << k) |
| 将整数 (n) 在二进制表示下的第 (k) 位赋 (1) | n | (1 << k) |
| 将整数 (n) 在二进制表示下的第 (k) 位赋 (0) | n & (~(1 << k)) |
正确性证明
操作 1
将 (n) 右移 (k) 位后，其末即为第 (k) 位。此时将其和 (1) 按位与即可舍弃前面所有的位上的数据（原因是 (1) 的二进制表示中其他位全部为 (0)，按位与后的结果也是 (0) ），比较最后一位是 (0) 还是 (1)。若为 (0) 则返回 (0)，反之亦然。
操作 2
将 (1) 向左移 (k) 位后减 (1) 会得到 (2^k - 1) 的形式。这样的形式的二进制表达类似于 111...11 ，总共有 (k-1) 个 (1)。将原数和该数按位或该数，会自动忽略高位，原因同上。同时其原理也是 (0) 或 (1) 与上 (1) 总是等于自身。
操作 3
1 << k 操作的含义同上。(0) 或 (1) 异或上 (1) 总是取反，当 (0) 异或 (1) 两者不同结果是 (1)，而 (1) 刚好相反。这样可以利用一个形如 100...00 的二进制数，对单个位进行取反，故正确。
操作 4
1 << k 操作的含义同上。(0) 或 (1) 或上 (1) 总是为 (1)。这是基础定义，不用 Sora 多解释了。
操作 5
1 << k 操作的含义同上。但是将这个数取反就会得到一个形如 111...11011..111 的数。同时，我们知道 (0) 或 (1) 与上 (0) 总是为 (0)，(0) 或 (1) 与上 (1) 总是等于自身，那么就相当于修改了第 (k) 位为 (0)。认为这个操作比较妙。