排列组合的算法

排列组合算法

排列组合的数学基础

排列

从 \(n\) 个不同元素中, 每次取出 \(m(1≤m≤n)\) 个不同元素，排成一列，称为从 \(n\) 个元素中取出 \(m\) 个元素的无重复排列或直线排列，简称排列, 记作 \(P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}\);

组合

从 \(n\) 个不同元素中每次取出 \(m（0≤m≤n）\) 个不同元素，不管其顺序合成一组，称为从 \(n\) 个元素中不重复地选取 \(m\) 个元素的一个组合, 简称组合, 记作 \(C_n^m = \frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}\)。

全排列的递归算法描述

设一组元素 \(\Omega = \{A,B,C, \dotsb, N\}\);

当 \(n = 1\) 时: $Permutate(\Omega) = {A} $;

当 \(n = 2\) 时: \(Permutate(\Omega) = \{A, B\}, \{B, A\}\);

当 \(n = 3\) 时: \(Permutate(\Omega) = \{A, B, C\}, \{A, C, B\}, \{B, A, C\}, \{B, C, A\}, \{C, A, B\}, \{C, B, A\} \\ =A \{Permutate(\Omega - A)\} + B \{Permutate(\Omega - B)\} + C\{Permutate(\Omega - C)\}\);

...

对于 \(n\): 有 \(Permutate(\Omega) = \omega_1 \{Permutate(\Omega - \omega_1)\} +\omega_2 \{Permutate(\Omega - \omega_2)\} + \dotsb + \omega_n \{Permutate(\Omega - \omega_n)\}\)

template<class T>
void Recursion_Arrangament(int begin, int end, std::vector<T> dataSet)
{
	if (begin == end) // 终止条件
	{
		for (size_t i = 0; i < end; i++)
		{
			std::cout << dataSet[i];
		}
		std::cout << std::endl;
	}

	for (size_t i = begin; i < end; i++)
	{
		swap(dataSet[begin], dataSet[i]);
		Recursion_Arrangament(begin + 1, end, dataSet);
		swap(dataSet[i], dataSet[begin]);
	}
}

组合的递归算法描述

用 "10" 转换解决组合问题

在一组元素 \(\Omega = \{A,B,C, \dotsb, N\}\) 中选取 \(m\) 个作任意组合, \(Combine(N, m)\)

设 \(m = 3, n = 5\)

1. 将元素数组的前三位标记为 1, 其余标记为 0;
2. 从头读取标记为, 当遇到的第一组 10 时, 输出结果, 并转换 10 为 01;
3. 重复 步骤2, 直到队尾再没 10, 终止;

A	B	C	D	E	Output
1	1	1	0	0	ABC
1	1	0	1	0	ABD
1	0	1	1	0	ACD
0	1	1	1	0	BCD
0	1	1	0	1	BCE
0	1	0	1	1	BDE
0	0	1	1	1	CDE

排列组合算法的地位