洛谷P2258 子矩阵——题解

题目传送

表示一开始也是一脸懵逼，虽然想到了DP，但面对多变的状态不知从何转移及怎么合理记录状态。之（借鉴大佬思路）后，豁然开朗，于是在AC后分享一下题解。

发现数据范围出奇地小，不过越是小的数据范围，算法的灵活性就越大。小数据对我们各个算法的组合及时间复杂度的掌握要求很高。面对二维的最优化选择，其实我们可以先通过搜索枚举出行的所有选择，存到一个数组team中，然后在行已经确认的情况下，跑一遍一维的DP：设dp[j][i]为在前j列选择i列的最优情况（为了方便，要求第i选择的列一定是第j列）。则状态转移方程就可写成：dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[k][i-1]+lc[j]+hc[k][j]），其中lc为第j列的分值，hc[k][j]为第k列和第j列横向相邻元素对分值的贡献，k=i-1,i-1+1,...,j-1。对于lc和hk

我们可以在每次搜索完成后预处理一下，整个程序的时间复杂度即为O（C（n,r）*rm²）,足以解出题。

代码上有一个小优化，详情见注释：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

int n, m, r, c, num[17][17], ans = 0x7fffffff, team[17], lteam;
int lc[17];     //列
int hc[17][17]; //列之间
int dp[17][17];

void init()
{
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        lc[i] = 0;
        for (int j = 1; j < r; j++)
            lc[i] += abs(num[team[j]][i] - num[team[j + 1]][i]);
    }
    for (int i = 1; i < m; i++)
        for (int j = i + 1; j <= m; j++)
        {
            hc[i][j] = 0;
            for (int k = 1; k <= r; k++)
                hc[i][j] += abs(num[team[k]][i] - num[team[k]][j]);
        }
}

void DP()
{
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        dp[i][1] = lc[i];
    if (c == 1)
    {
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            ans = ans > dp[i][1] ? dp[i][1] : ans;
        return;
    }
    for (int i = 2; i <= c; i++)
    {
        for (int j = i; j <= m - c + i; j++)
        {
            dp[j][i] = 0x2fffffff;
            for (int k = j - 1; k >= i - 1; k--)
                dp[j][i] = min(dp[j][i], dp[k][i - 1] + lc[j] + hc[k][j]);
        }
    }
    for (int i = c; i <= m; i++)
        ans = min(ans, dp[i][c]);
}

void dfs(int now)
{
    if (now > n)//选择完毕
    {
        init();
        DP();
        return;
    }
    if (r - lteam == n - now + 1)//当剩下的元素与还要选择的元素的数量相等时，必须要选
    {
        team[++lteam] = now;
        dfs(now + 1);
        --lteam;
        return;
    }
    dfs(now + 1);//当前行要么不选
    if (lteam < r)//要么在符合条件的情况下选
    {
        team[++lteam] = now;
        dfs(now + 1);
        --lteam;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &r, &c);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &num[i][j]);
    dfs(1);
    printf("%d", ans);
    return 0;
}