[算法笔记] 双连通分量

由于想把文章写的短一点，所以把割点和这篇分开了。
在阅读本文之前，请先阅读割点与割边

边双联通分量 Edge Double Connected Component

先讲边双是因为它比点双简单

性质

先给定义：不存在割边的极大双连通子图
（再加入任何一个/一些点后，它都会不连通或出现割边，不再是 e-DCC）
画张图吧，好理解

红边是割边，圈出来的是三个双联通分量。

性质：

• 边双连通分量中任意一条边都包含在至少一个简单环中

这条性质也是边双的充要条件。

分别证明，首先若该性质满足，那么删去任意一条边不会影响这个环中点之间两两可达性，这样任意一条边都不为割边了，必为边双。
然后，若图为边双连通图，反证，如果 ((u,v)) 不包含在任意一个简单环中，断掉该变后，(u) 没有路径可以到达 (v)，图不再连通。

但是边双中并不一定包含一个经过所有点的简单环，点双也是，反例如下。

求法

把所有割边断掉，剩下每个连通块各为一个边双连通分量。

边双缩点：边双树

就像强联通分量缩点一样，我们可以把每一个边双缩成一个点来处理一些问题，然后这些点之间由原来的割边相连形成了一棵树。

最后得出一定是一棵树（森林），如果不是树，那就有环，环就是个边双。

就像强连通分量分解把一般有向图变成了有向无环图一样，我们把无向图的问题转到了树上，更好处理了，同时也保存了原来无向图的信息。

例题：codeforces 555E Case of Computer Network
题
首先缩点成边双森林，定根，每条路径拆成向上和向下两部分，如果有一条边既要向上又要向下，那就无解了。

这个用树上差分实现，维护点信息对应其父边信息。

这里简单地讲一下如果要求具体方案的做法。
对于割边，看覆盖这条边的路径是向上还是向下的即可。

边双经过定向可以成为一个强连通分量。
无向图的 dfs 树只有返祖边和树边，没有横叉边。
把边双单独拿出来建个 dfs 树的话，树边向儿子，返祖边向祖先连即可。
一路往下走到叶子之后，一定会存在一条路能够回到根，否则这个叶子就不会在边双里面了（由于没有横叉边，它能走到的所有点是一棵完整的子树，且该子树根不是树的根），到根以后，就可以往下走到任何一个节点了。

点双联通分量 Vertex Double Connected Component

其实和前者非常的相似

性质

先给定义：不存在割点的极大双连通子图
画张图吧，好理解

性质：

• 点双连通分量中任意两点都同时包含在至少一个简单环中

等价于两点间存在两条不相交（没有公共点）的路径。
这条性质也是点双的充要条件。

若任意两点间存在两条不相交的路径，那么不存在同时在两条路径上的点，两点一定能互达，所以图中不存在割点，即图为点双连通图。
若图为点双连通图，继续反证，假设存在两点 (u,v) 它们不同时处于任一简单环中，如果这两点间只有一条路径，那么必存在割点，如果有大于等于两条路径，这些路径若不相交于 (u,v) 以外的点就一定会成环，所以这些路径一定会交于某一点，这样这个点就成为了割点，与点双连通图矛盾。

• 一个点双中的两不同点之间一定存在简单路径，使得该路径经过在同一个点双内的另一点
• 两点双连通分量之间如果有公共点，这个公共点一定是唯一的，且一定是割点

注意下面这两个图是符合定义的，但是会不符合性质，是特例。

求法

如果仿照上面的做法，把所有割点断掉，剩下每个连通块各为一个点双。
但这是错的，因为割边不包含于任一边双中，但是割点一定包含于至少两个点双中。
这个做法相对比较复杂。

还是用 Tarjan 算法，维护一个栈，对整张图做 dfs。

1. 若一个节点第一次被访问，将其入栈
2. 在割点处理过程中，在处理 (u) 的儿子 (v) 时，如果遇到 (dfn_uleq low_v)，则从栈顶不断弹出节点直到 (v) 被弹出为止（(v) 要弹出）这些点和 (u) 一起构成一个点双连通分量

注意到这里没有弹出 (u)，因此此时 (u) 是一个割点，计算它和它子树中节点组成的点双时不能弹出，因为它包含于不止一个双联通分量，只有在处理它某个祖先节点时，才会弹出这个节点，这样处理完它的子树的 v-DCC 后再处理和它祖先构成的 v-DCC 最后弹出，就可以计入所有 v-DCC 了。这个点作为割点，也是必定会包含在上面的那个点双里的（根节点除外）。

void tarjan(LL u,LL fa){
    low[u] = dfn[u] = ++ ti;
    stk[++ top] = u;
    LL tot = 0;
    for(LL i = hed[u];i;i = nxt[i]){
        LL v = to[i];
        if(!dfn[v]){
            ++ tot; tarjan(v,fa);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if((u == fa && tot >= 2) || (u != fa && dfn[u] <= low[v])) cut[u] = 1;
            if(dfn[u] <= low[v]){
            	bc ++; blk[bc].clear();
            	do{
            	      blk[bc].push_back(stk[top --]);
		}while(stk[top + 1] != v);
		blk[bc].push_back(u);
	      }
        }
        else low[u] = min(low[u],dfn[v]);
    }
}

圆方树

与边双树相对应。
在处理点双的问题时，往往会使用圆方树，将图的问题转化为树上问题，并很好的保留了原图的信息。
对每一个点双，建立一个方点，将这个方点与原来点双中的所有点相连，连成一个菊花图来处理，这样可以得出一棵树。（如果成环了，相应的，这个环也能缩成一个点双，所以必定是树）

借用 WC ppt 的一张图

这超出了本文的讨论范围了，感兴趣的读者可以自行查询资料学习。
说白了，就是我不会啊