JZOJ6377 幽曲[埋骨于弘川]

Description

• (nin[1,500],kin[2,10])。

Solution

• 这是一道有点很有难度的题。

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• 先考虑判断一个数是否在数列(a)中。由于每次加的数是在([0,k))的范围内，所以个位不定，但除个以外的位可以任意取值。
• 考虑DP。记个位为第(1)位，设(g_{i,p,x,a})表示我们构造的数第(2sim i)位为0，第(isiminfty)位中最大的位值为(p)，个位为(a)，此时我们要将第(i)位刚好填到(x)，个位变成了多少。
• 初值的话，可以暴力算出(iin[1,2])时的(g)。
• 不进位的转移显然。进位时，比如我们想算(g_{i+1,p,1,a})的值，它可以由(g_{i,k-1,1,a'})转移而来（(a')表示我们在第(i)位填(k-1)次(1)后(a)会变成的数）。

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• 然后做树形DP。如果我们沿着子树节点序列转移，那么实际上就是沿着dfs序转移，可以转移到(dfn[i])的范围是([dfn[fa[i]],dfn[i]))。
• 设(dp_{dfn[x],j,p,a})表示我们做到点(x)，考虑到第(j)位（第(j)位放(d[x])），前面的位的最大值为(p)，个位为(a)的合法方案数。初值显然是(dp_{1,j,d[1],g_{j,0,d[1],1}}=1)。
• 转移的话，一定是从(dp_{i',j,p,x})转移到(dp_{i,j-1,max(p,d),g_{j-1,p,d,x}})，其中(i'<i)。这个可用前缀和优化。

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• 时空复杂度：(O(nk^2(n+k)))。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

const int N=505,K=11,mo=998244353;

int n,k,g[N][K][K][K],u,d[N],x,y,ti,dfn[N],dp[N][N][K][K],ans;
bool e[N][N];

void P(int&x,int y) {x=(x+y)%mo;}

void dfs(int u,int fa)
{
	if(!ti++)
		fo(j,1,n)
		{
			int x=g[j][0][d[u]][1];
			dp[ti][j][d[u]][x]=1;
		}
	else
		fo(j,2,n) fo(p,0,k-1) fo(x,0,k-1)
		{
			int p1=max(p,d[u]), x1=g[j-1][p][d[u]][x];
			if(~x1) P(dp[ti][j-1][p1][x1],(mo+dp[ti-1][j][p][x]-dp[dfn[fa]-1][j][p][x])%mo);
			P(dp[ti][j-1][p][x],dp[ti-1][j-1][p][x]);
		}
	fo(x,d[u],k-1) P(ans,(mo+dp[ti][1][x][d[u]]-dp[ti-1][1][x][d[u]])%mo);
	dfn[u]=ti;
	fo(v,1,n) if(v^fa&&e[u][v]) dfs(v,u);
}

int main()
{
	freopen("buried.in","r",stdin);
	freopen("buried.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	memset(g,-1,sizeof g);
	fo(p,0,k-1)
	{
		g[1][p][0][0]=0;
		fo(x,0,k-1)
			if(p|x)
			{
				int y=x;
				while(y<k)
				{
					g[1][p][y][x]=y;
					y+=max(p,y);
				}
				g[2][p][1][x]=y-k;
			}
	}
	fo(i,2,n)
		fo(p,0,k-1)
			fo(a,0,k-1)
			{
				g[i][p][0][a]=a;
				if(!~(u=g[i][p][1][a])) continue;
				fo(x,2,k-1) if(!~(u=g[i][p][x][a]=g[i][max(p,x-1)][1][u])) break;
				if(~u) g[i+1][p][1][a]=g[i][k-1][1][u];
			}
	fo(i,1,n) scanf("%d",&d[i]);
	fo(i,1,n-1) scanf("%d%d",&x,&y),e[x][y]=e[y][x]=1;
	dfs(1,0);
	printf("%d",ans);
}