二分图最大权匹配——KM算法

前言

• 这东西虽然我早就学过了，但是最近才发现我以前学的是假的，心中感慨万千（雾），故作此篇。

简介

• 带权二分图：每条边都有权值的二分图
• 最大权匹配：使所选边权和最大的匹配
• KM算法，全称Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大权匹配的一种算法。
• 根据我的理解，该算法算是一种基于贪心的松弛算法，它通过设置顶标将原问题转化为求一个完备匹配（完备匹配：匹配数=min(左部点数，右部点数））。

流程

• 设左部中点(x)的顶标(wx_x)、右部中点(y)的顶标(wy_y)。初始时(wx_u=max{w_{u,v}})，(wy_v=0)。
• 我们扫一遍左部，每扫到一个(x)点，尝试增广，我们只能走满足条件(wx_u+wy_v=w_{u,v})的边；这种边构成了原图的相等子图（不要问我为什么，它就叫这个名字）。我们增广失败，将访问过的点（包括增广失败的点）形成的树称为交错树，该树显然所有叶子都是(x)点。
• 接下来即是算法关键：我们为扩大相等子图（使当前的(x)尽量匹配上），修改所有交错树中的点的顶标，即将其中的(x)点顶标(-d)，(y)点顶标(+d)。为保速度，(d=min{wx_u+wy_v-w_{u,v}})（(u)在交错树中，(v)不在交错树中）。
• 由于我们要尝试为左部(n)个点匹配，每次匹配最多增广(n)次（即最多要修改(n)次顶标，因为无法保证修改完一次顶标后就能扩大相等子图），每次增广是(O(n+m))的，故此做法的复杂度应为(O(n^2(n+m)))。

某个优化

• 给每个(y)顶点一个“松弛量”函数(slack)，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边<i,j>时，如果它不在相等子图中，则让(slack[j])变成原值与(w_{i,j})的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的(y)顶点的(slack)值中的最小值作为(d)值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的不在交错树中的(y)顶点的(slack)值都减去(d)。
• 这个优化似乎是很有用，但并不能把KM优化到(O(n^3))。这其实和原算法差不多，还是要为左部(n)个点匹配，每次匹配还是最多要增广(n)次，每次增广还是(O(n+m))。如果是完全图，并且出题人稍微构造一下数据，依然是(O(n^4))。

Code

bool dfs(int k) {
	visx[k] = 1;
	F(i, 1, n) {
		if (!visy[i]) {
			int t = A[k] + B[i] - Edge[k][i];
			if (!t) {
				visy[i] = 1;
				if (!link[i] || dfs(link[i])) return link[i] = k;
			} else slack[i] = min(slack[i], t);
		}
	}
	return 0;
}

int KM() {
	mem(link, 0);
	F(i, 1, n) {
		A[i] = -1e18, B[i] = 0;
		F(j, 1, n)
			A[i] = max(A[i], Edge[i][j]);
	}
	F(v, 1, n) {
		int cnt = 0;
		F(i, 1, n) slack[i] = 1e18;
		while (1) {
			mem(visx, 0), mem(visy, 0);
			if (dfs(v)) break;
			int d = 1e18;
			F(i, 1, n) if (!visy[i]) d = min(d, slack[i]);
			F(i, 1, n) if (visx[i]) A[i] -= d;
			F(i, 1, n) if (visy[i]) B[i] += d; else slack[i] -= d;
		}
	}
	Ans = 0;
	F(i, 1, n) Ans += A[i] + B[i];
	return Ans;
}

再次优化

• 先前的算法中，我们把大量时间浪费在 修改顶标-尝试增广 的操作上了。每次修改完顶标后，我们都要花至多(O(n^2))的时间走先前已经走过的路。
• 但实际上，每次修改顶标后，我们可以确定一个(y)点可以被增广：那就是迫使我们修改顶标的那个(y)点。我们可以记录下它，并且下次增广就直接从它已连的(x)点增广（当然，如果它没有连(x)点，那就增广结束）。
• 这样，我们就把(dfs)的增广改为了一个类似(bfs)的东西。并且对于每个(x)点而言，每次修改顶标后不需要清空(vis)数组、增广时每个点、每条边至多被经过一次，故时间复杂度成功优化至(O(n^2+nm))。

Code

int n,w[N][N],my[N],wx[N],wy[N],slack[N],pre[N];
bool vis[N];
void augment(int s)
{
	fo(y,1,n) vis[y]=uy[y],slack[y]=inf;
	int y0,nxt=0,tm;
	for(my[0]=s; vis[y0=nxt]=1,my[y0];)
	{
		int x=my[y0],d=inf;
		fo(y,1,n) if(!vis[y])
		{
			if((tm=wx[x]+wy[y]-w[x][y])<slack[y]) slack[y]=tm,pre[y]=y0;
			if(slack[y]<d) d=slack[y],nxt=y;
		}
		if(d<inf) fo(y,0,n) vis[y]?wx[my[y]]-=d,(y?wy[y]+=d:0):slack[y]-=d;
	}
	for(int y; y0; y0=pre[y=y0],my[y]=my[y0]);
}
int KM()
{
	fo(i,1,n) wx[i]=wy[i]=my[i]=pre[i]=0;
	fo(i,1,n) fo(j,1,n)
	{
		if(wx[i]<w[i][j]) wx[i]=w[i][j];
  		if(wy[j]<w[i][j]) wy[j]=w[i][j];
	}
  	fo(i,1,n) augment(i);
	int s=0;
	fo(i,1,n) s+=wx[i]+wy[i];
	return s;
}

小结

• 学算法时要带着脑子，莫被网上的博客骗了。