浙大版《C语言程序设计（第3版）》题目集习题3-5 三角形判断（15 分）

浙大版《C语言程序设计（第3版）》题目集习题3-5 三角形判断（15 分）
习题3-5 三角形判断（15 分）
给定平面上任意三个点的坐标 $(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，检验它们能否构成三角形。^{1 , y^{ 1 )、}}$

输入格式:

输入在一行中顺序给出六个

输出格式:

若这3个点不能构成三角形，则在一行中输出“Impossible”；若可以，则在一行中输出该三角形的周长和面积，格式为“L = 周长, A = 面积”，输出到小数点后2位。

输入样例1:

4 5 6 9 7 8

输出样例1:

L = 10.13, A = 3.00

输入样例2:

4 6 8 12 12 18

输出样例2:

Impossible

思路：先用两点间距离公式求出三边边长。(d=√[(x₂ - x₁)²+(y₂ - y₁)²])
　　　再用海伦公式判断是否能组成三角形，并求出面积。
　　
代码如下：

#include<stdio.h> #include<math.h> int main() { double x1 ,x2, x3, y1, y2, y3, a, b, c, L, A, s, delta; scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3); a=sqrt(pow(x1-x2,2)+pow(y1-y2,2));//两点间距离公式，下同。 b=sqrt(pow(x2-x3,2)+pow(y2-y3,2)); c=sqrt(pow(x1-x3,2)+pow(y1-y3,2)); s=(a+b+c)/2; delta=(s-a)*(s-b)*(s-c);//用delta判别是否能成为三角形 if(delta<=0) 　　　　printf("Impossible "); else { 　　　　L=2*s; 　　　　A=sqrt(s*delta); 　　　　printf("L = %.2lf, A = %.2lf ",L,A); } return 0; }

　　

科普：海伦-秦九韶公式

　　　　希羅公式（Heron's formula或Hero's formula），又译希罗公式、希伦公式、海龙公式，亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。亦有认为早于阿基米德已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。

　　　　假设有一个三角形，边长分别为 $a,b,c$ $A={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ 。中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为 $a$

$A={sqrt {{frac 1{4}}left[a^{2}c^{2}-left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}} ight)^{2} ight]}}$

像其他中国古代的数学家一样，他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相补原理得出。一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式。

由于任何 $n$

$各种证明如下：$

利用三角公式和代数式变形来证明

与海伦在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 $a,b,c$

$cos C = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

利用和平方、差平方、平方差等公式，从而有

${displaystyle {egin{aligned}sin C&={sqrt {1-cos ^{2}C}}\&={sqrt {(1+cos C)(1-cos C)}}\&={sqrt {left(1+{frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}} ight)left(1-{frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}} ight)}}\&={sqrt {left[{frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{2ab}} ight]left[{frac {c^{2}-(a-b)^{2}}{2ab}} ight]}}\&={frac {sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab}}\&={frac {sqrt {(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab}}\&={frac {2}{ab}}{sqrt {s(s-c)(s-b)(s-a)}}end{aligned}}}$
$egin{align} A & = frac{1}{2}ab sin C \ & = frac{ab}{2} cdot frac{2}{ab} sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \ & = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} end{align}$

利用勾股定理和代数式变形来证明

$b^2=h^2+d^2$
$a^2=h^2+(c-d)^2$
$a^2-b^2=c^2-2cd$
$d=frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}$
$egin{align} h^2 & = b^2-left(frac{-a^2+b^2+c^2}{2c} ight)^2\ & = frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\ & = frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}\ & = frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\ & = frac{2(s-a)cdot 2scdot 2(s-c)cdot 2(s-b)}{4c^2}\ & = frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2} end{align}$
$egin{align} A & = frac{ch}{2}\ & = sqrt{frac{c^2}{4}cdot frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\ & = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} end{align}$

用旁心来证明

设 ${displaystyle igtriangleup ABC}$

$I$

${displaystyle ecause angle I_{a}BI=angle I_{a}CI=90^{mathsf {o}}}$

${displaystyle herefore I_{a}CIB}$

过 $I$

先证明 ${displaystyle Box I_{a}QPR}$

${displaystyle {overline {PI}}=}$ ${displaystyle ={frac {igtriangleup }{frac {a+b+c}{2}}}}$

来源：维基百科-海伦-秦九韶公式（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%B7%E4%BC%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F）
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原文地址：https://www.cnblogs.com/IT-Lead-The-World/p/10350950.html

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输出样例1:

输入样例2:

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