每日一题

题目信息

• 时间： 2019-07-23

• 题目链接：Leetcode

• tag： 二分查找

• 难易程度：简单

• 题目描述：

  把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。

示例1:

输入：[3,4,5,1,2]
输出：1

示例2:

输入：[2,2,2,0,1]
输出：0

解题思路

本题难点

排序数组的旋转，找到旋转点，性能最佳。

具体思路

寻找旋转数组的最小元素即为寻找 右排序数组 的首个元素 numbers[x] ，称 x为 旋转点 。

排序数组的查找问题首先考虑使用 二分法 解决，其可将遍历法的 线性级别 时间复杂度降低至 对数级别 。

• 循环二分：
  1. 当 numbers[m] > numbers[j]时： m 一定在 左排序数组 中，即旋转点 x 一定在 [m+1,j] 闭区间内，因此执行 i=m+1；
  2. 当 numbers[m] < numbers[j] 时：m 一定在 右排序数组 中，即旋转点 x 一定在[i,m] 闭区间内，因此执行 j=m；
  3. 当 numbers[m] == numbers[j] 时： 无法判断 m 在哪个排序数组中，即无法判断旋转点 x 在 [i,m] 还是 [m+1,j] 区间中。解决方案： 执行 j=j−1 缩小判断范围 。

展开分析 numbers[m] == numbers[j] 情况：

• 无法判定 m 在左（右）排序数组： 设以下两个旋转点值为 0 的示例数组，则当 i=0, j=4 时 m=2 ，两示例结果不同。

  • 例 [1,0,1,1,1] ：旋转点 x=1 ，因此 m=2 在 右排序数组 中。

  • 例 [1,1,1,0,1] ：旋转点 x=3 ，因此 m=2 在 左排序数组 中。

• j=j−1 操作的正确性证明：只需证明每次执行此操作后，旋转点 x 仍在 [i,j] 区间内即可。

  • 若 m 在右排序数组中： numbers[m] == numbers[j] ，因此数组 [m,j]（恒有 m<j）区间内所有元素值相等，执行 j=j−1 只会抛弃一个重复值，因此旋转点 x 仍在 [i,j] 区间内。

  • 若 m 在左排序数组中： 由于 左排序数组 任一元素 >= 右排序数组 任一元素 ，因此可推出旋转点元素值 numbers[x] <= numbers[j] == numbers[m]，则有：

    1. 若 numbers[x] < numbers[j] ： 即 j 左方仍有值更小的元素，执行 j=j−1 后旋转点 x 仍在 [i,j] 区间内。

    2. 若 numbers[x] == numbers[j] ： 分为以下两种情况。

       当 j>xj>x ： 易得执行 j=j−1j=j−1 后旋转点 xx 仍在 [i,j] 区间内。

       当 j=x： 特殊情况，即执行 j=j−1 后旋转点 x 可能不在 [i,j] 区间内。例如 [1,1,1,2,3,1] ，当 i=0 , m=2 , j=5 时执行 j=j−1 后虽然 丢失了旋转点索引 x=5 ，但最终返回值仍正确（最终返回的 numbers[0] 等于旋转点值 numbers[5] ），这是因为：之后的二分循环一直在执行 j=m ，而区间 [i,m] 内的元素值一定都等于旋转点值 numbers[x] （ ∵ 区间内元素值既要满足 ≥ 也要满足 ≤ numbers[x]） ，因此 仍可保证正确的返回值 。

提示 是否可以用 numbers[m] 和 numbers[i] 比较做代替？不可以。因为做比较的目的是判断 m 在哪个排序数组中。但在 numbers[m] > numbers[i]情况下，无法判断 m 在哪个排序数组中。本质是因为 j 初始值肯定在右排序数组中； i 初始值无法确定在哪个排序数组中。

代码

class Solution {
    public int minArray(int[] numbers) {
        int l = 0;
        int r = numbers.length-1;
        while(l < r){
            int mid = (l + r)/2;
            if(numbers[mid] > numbers[r]){
                l = mid + 1;
            }else if(numbers[mid] < numbers[r]){
                r = mid;
            }else{
                r--;
            }
        }
        return numbers[l];
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(logN) ： 在特例情况下（例如 [1,1,1,1]），会退化到 O(N)。
• 空间复杂度 O(1) ： i , j , m指针使用常数大小的额外空间。