每日一题

题目信息

• 时间： 2019-07-23

• 题目链接：Leetcode

• tag： 动态规划

• 难易程度：中等

• 题目描述：

  给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

  说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例1:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

解题思路

本题难点

路径的方向只能是向下或向右，因此网格的第一行的每个元素只能从左上角元素开始向右移动到达，网格的第一列的每个元素只能从左上角元素开始向下移动到达，此时的路径是唯一的，因此每个元素对应的最小路径和即为对应的路径上的数字总和。

具体思路

动态规划

• 状态定义

  设 dp 为大小 m×n 矩阵，其中 dp[i] [j] 的值代表直到走到 (i,j) 的最小路径和。

• 转移方程

  走到当前单元格 (i,j) 的最小路径和 = “从左方单元格 (i−1,j) 与 从上方单元格 (i,j−1) 走来的 两个最小路径和中较小的 ” +当前单元格值 grid[i] [j] 。

提示

代码

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        if(grid.length == 0 || grid[0].length == 0){
            return 0;
        }
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[row][col];
        dp[0][0] = grid[0][0];
      //当 i>0 且 j=0 时，dp[i][0]=dp[i−1][0]+grid[i][0]
        for(int i = 1 ; i < row ; i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]; 
        }
      //当 j>0 且 i=0 时，dp[0][j]=dp[0][j-1]+grid[0][j]
        for(int j = 1 ; j < col ; j++){
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
        }
      //当 j>0 且 i>0 时，dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]
        for(int i = 1 ; i < row; i++){
            for(int j = 1 ; j < col; j++){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j] + grid[i][j],dp[i][j-1] + grid[i][j]);
            }
        }
        return dp[row-1][col-1];
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(M×N) ： 遍历整个 grid矩阵元素。
• 空间复杂度 O(M×N) ：其中 m 和 n分别是网格的行数和列数。创建一个二维数组 dp，和网格大小相同。

其他优秀解答

解题思路

动态规划，每次只存储上一行的 dp 值，则可以将空间复杂度优化到 O(n)。

代码

public int minPathSum(int[][] grid) {
		int len = grid[0].length;
		int[] dp = new int[len];
		dp[0] = grid[0][0];
		for (int i = 1; i < len; i++) 
			dp[i]=dp[i-1]+grid[0][i];
		for (int i = 1; i < grid.length; i++) {
			dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
			for (int j = 1; j < len; j++) 
				dp[j] = Math.min(dp[j-1]+grid[i][j], dp[j]+grid[i][j]);
		}
		return dp[len-1];
}