Manacher算法 学习笔记

首先，强烈安利一篇文章，这篇文章对于(Manacher)的讲解本人感觉非常到位。

传送门

本文也是对上文的一个整理。虽然上文已经讲得很好了

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一. 回文子串的一般解法

相信大家都知道的一个方法(:)枚举字符串的每一个位置作为回文子串的对称中心，同时向左向右扩展，判断是否相等，然后每次保存之前求取的最大回文子串长度，时间复杂度为(O(n^2))。

在枚举时，还需要考虑对奇数回文串和偶数回文串分开处理，因为奇数回文串的对称中心是单个字符，而偶数回文串的对称中心为中间两字符的中间位置。为了结决这个问题，我们可以在每个字符的前后分别插入一个无关的字符(()具体是什么对结果无影响())，这样无论是奇数串还是偶数串都会转变为奇数串。

二. (Manacher)算法

首先，介绍几个(Manacher)算法中的几个概念(:)

• 回文半径数组(radius[i])，表示以(i)为对称中心的回文半径的长度，例如(:)

• 最右回文边界(max\_r)，表示当前位置及之前所有位置的回文子串所有到达的最右边的位置，例如(:)

• 最右回文边界的对称中心(mid)，即右边界为最右回文边界的回文子串的对称中心，例如(:)

然后，我们来说一下(Manacher)的算法流程(:)

第一种情况，当我们当前要扩展的点在最右回文边界(max\_r)的右侧时，由于其右侧点的情况我们还是未知的，所以我们只能采取朴素的做法，以要扩展的点为对称中心向两边扩展，同时更新(radius)数组，最右回文边界和最右回文边界的对称中心。

第二种情况，当我们要扩展的点在最右回文边界的左侧时，又要分三种情况来考虑(:)

首先说明一下下面将出现的变量(:) (max\_l)表示最右回文边界关于对称中心的对称点，(p)为当前要扩展的点，(p_1) 为当前要扩展的点关于对称中心的对称点，(p_2) 为以 (p_1) 为对称中心的回文子串的左边界。

(1. pleq max\_r and max\_l <p2)

很显然，这种情况下，(radius[p]=radius[p_1])。

(2. pleq max\_r and p_2 < max\_l)

这种情况下，若我们仍取(radius[p_1])，很显然就会涉及到(max\_r)之外我们未知的区域，所以(radius[p])只能取(max\_r-p)。

(3. pleq max\_r and p_2==max\_l)

这种情况下，我们就需要继续向两边扩展(p)，但显然我们只需要从(max\_r)向右扩展即可。

那么，(Manacher)的算法流程大致就是这样了，下面我们来感性证明一下时间复杂度(:)

上面的两种情况中，第二种的(1,2)的时间复杂度都是(O(1))的，第一种情况和第二种的(3)，(max\_r)都是不断向右扩展，没有回头的情况，在判断回文半径时也没有对(max\_r)内的点进行判断，所以(max\_r)是从字符串的左端点向右扩展到右端点，总复杂度为(O(n))。

具体细节说清楚了，代码应该就很简单了。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

using std::string;
const int maxn = 11000002;
string x, s;
int radius[maxn << 1], max_right, mid, ans;

int main() {
    std::cin >> x; s += '$', s += '#';
    for (int i = 0; i < x.length(); i++) s += x[i], s += '#';
    for (int i = 1; i < s.length(); i++) {
        radius[i] = max_right > i ? min(radius[mid * 2 - i], max_right - i) : 1;
        while (s[i - radius[i]] == s[i + radius[i]]) radius[i]++;
        if (i + radius[i] > max_right) max_right = i + radius[i], mid = i;
        ans = max(ans, radius[i] - 1);
    }
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

完结撒花(✪ω✪)