莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

前置芝士:

• 积性函数(好东西) ：对于数论函数 f(x) , 若 a * b = x && gcd(a, b) = 1, f(x) = f(a) * f(b);

• 特殊的,对于a, b不互质也满足上式，则称f(x)为完全积性函数

• 常见积性函数

  1. μ(n)——莫比乌斯函数。
  [mu(d)=egin{cases} 1 & ext{d = 1}\ (-1)^r & ext{$d=p_1p_2...p_r,其中p_i为素数$}\ 0 & ext{others} end{cases} ]
  2. φ(n)——欧拉函数。表示不大于n且与n互质的正整数个数，十分常见的数论函数。用数学式子表示即：φ(n) = (sum^{n}_{d=1}[gcd(d, n) == 1]);
  3. d(n)——约数个数。表示n的约数的个数。用式子表示为：d(n) = (sum^n_{d = 1} [d |n]);
  4. σ(n)——约数和函数。即n的各个约数之和。表示为：σ(n) = (sum_{d|n}d) = (sum^{n}_{d = 1} [d | n] cdot d) ;

  (PS：接下来列举的是完全积性函数)

  1. ϵ(n)——元函数。ϵ(n) = [n=1]。
  2. I(n)——恒等函数。所谓恒等就是这个函数的值恒为1。
  3. id(n)——单位函数。id(n)=n。

狄利克雷卷积 :

设f , g为数论函数, 其狄利克雷卷积为 (f * g = sum_{d | n} f(d) cdot g(n / d))

其性质满足交换律, 结合律和分配律

几条比较常用的小性质 :

• 单位元 : (f * epsilon = f) (显然)

• (mu * I = epsilon)

  证明 :

  若 n > 1

  [mu * I = sum_{d | n} mu(d), 设 n = p^{alpha_1}_1p^{alpha_2}_2 cdots p^{alpha_k}_k ]

  因为含有平方因子的 (mu) 值一定为零, 所以我们只考虑每个质因子选一个或不选

  然后根据组合数选奇数项之和等于选偶数项之和(也可以用二项式定理), 得出 (mu * I = 0)

  若n = 1, (mu * I = 1)

• (phi * I = Id)

莫比乌斯反演

[若 F(x) = sum_{d|x}f(x) = f * I\ f(x) = sum_{d|x}F(x) * mu(frac xd) = F * mu ]