求解0/1背包问题

穷举法

问题描述：

问题求解：对于n个物品，容量为W的背包问题。

<1>先采用求幂集的方法求出所有的物品组合。

<2>对于每一种组合，计算组合中物品的总重量sumw，总价值sumv。

<3>对于每一种组合，如果sumw <= W ，说明该组合是一种解。比较所有解，将最佳方案保存在 maxsumw 和 maxsumv 中。输出所有解与最佳解。

#include<stdio.h>
#define Maxn 10
#define MaxSize 1000
typedef struct{		//幂集类型
	int data[MaxSize][Maxn];		//data[i][0] 表示该子集的长度
	int n;					//幂集的个数
}pSetType;
void copy(int a[],int b[],int m){	        //将a[0...m]复制到b[0...m]
	int i;
	for(i=0;i<=m;i++)
		b[i] = a[i];
}
void pset(int n,pSetType &p){                   //求1~n的幂集p
	
	int i,j,m;
	int a[Maxn];
	p.data[0][0] = 0;
	p.n = 1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		m = p.n;
		for(j=0;j<m;j++){
			copy(p.data[j],a,p.data[j][0]);
			a[0]++;
			a[a[0]] = i;
			copy(a,p.data[p.n],a[0]);
			p.n++; 
		}
	}
}
void knap(pSetType p,int w[],int v[],int W){
	int i,j;
	int sumw,sumv;
	int maxi,maxsumw = 0,maxsumv = 0;
	printf("	序号	选中物品	总重量	总价值	能否装入
");
	for(i=0;i<p.n;i++){
		printf("	%d	",i+1);
		sumw = sumv = 0;
		printf("{");
		for(j=1;j <= p.data[i][0];j++){
			printf("%d",p.data[i][j]);
			sumv += v[p.data[i][j] - 1];
			sumw += w[p.data[i][j] - 1]; 
		}
		printf("}		%d	%d	",sumw,sumv);
		if(sumw<=W){
			printf("能
");
			if(sumv > maxsumv){
				maxsumw = sumw;
				maxsumv = sumv;
				maxi = i;
			} 
		}
		else
			printf("否
");
	} 
	printf("最佳方案: ");
	printf("选中物品: ");
	printf("{");
	for(j=1;j<=p.data[maxi][0];j++)
		printf("%d",p.data[maxi][j]);
	printf("},");
	printf("总重量 = %d,总价值 =  %d
",maxsumw,maxsumv);
}
int main(){
	int n=4,W = 7;
	int w[] = {5,3,2,1};
	int v[] = {4,4,3,1};
	pSetType p;
	pset(n,p);
	printf("0/1背包的求解方案
",n);
	knap(p,w,v,W);
	printf("
");
	return 0;
} 

　　

动态规划

//求解0_1背包问题 
//动态规划
#include<stdio.h>
#define MaxN 20
#define MaxW 100
int knap(int f[MaxN][MaxW],int w[],int v[],int W,int n){
	//动态规划求数组f[][] 
	int i,r;
	for(i=0;i<=n;i++)
		f[i][0] = 0;
	for(r=0;r<=W;r++)
		f[0][r] = 0;
		
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(r=1;r<=W;r++){
			if(r < w[i])
				f[i][r] = f[i-1][r];
			else{
				if(f[i-1][r] < f[i-1][r-w[i]] + v[i])
					f[i][r] = f[i-1][r-w[i]] + v[i];
				else
					f[i][r] = f[i-1][r];
			}
		} 
	} 
	return f[n][W]; 
}

int Traceback(int f[MaxN][MaxW],int w[],int x[],int W,int n){
	int i,r=W;
	int maxw = 0;
	for(i=n;i>0;i--){
		if(f[i][r] != f[i-1][r]){
			x[i] = 1;
			maxw += w[i];
			r = r - maxw;
		}
		else
			x[i] = 0; 
	}
	return maxw;
} 
void dispknap(int x[],int maxw,int maxv,int n){
	int i;
	printf("最佳背包方案是：
");
	for(i=0;i<=n;i++){
		if(x[i] == 1)
			printf("选取第%d种物品
",i); 
	}
	printf("总重量=%d,总价值=%d",maxw,maxv);
}
int main(){
	int f[MaxN][MaxW];
	int x[MaxN];
	int maxv;
	int maxw;
	int n=5,W=10;
	int w[MaxN] = {0,2,2,6,5,4};
	int v[MaxN] = {0,6,3,5,4,6};
	maxv = knap(f,w,v,W,n);
	maxw = Traceback(f,w,x,W,n);
	dispknap(x,maxw,maxv,n);
	return 0;
} 

　　回溯法

#include<stdio.h>
#define MAXN 20
int maxw;
int maxv;
int x[MAXN];
void knap(int w[],int v[],int W,int n,int i,int tw,int tv,int op[]){
	int j;
	if(i>n){
		if(tw<W && tv>maxv){
			maxv = tv;
			maxw = tw;
			for(j=1;j<=n;j++)
				x[j] = op[j];
		}
	}
	else{
		op[i] = 1;
		knap(w,v,W,n,i+1,tw+w[i],tv+v[i],op);
		op[i] = 0;
		knap(w,v,W,n,i+1,tw,tv,op);
	}
}
void disp(int x[],int n){
	int i;
	printf("最佳方案是:
");
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(x[i] == 1)
			printf("选取第%d个物品
",i);
	}
	printf("总重量 = %d,总价值 = %d",maxw,maxv);
}
int main(){
	int n=4;
	int W = 7;
	int op[MAXN];
	int w[] = {0,5,3,2,1};
	int v[] = {0,4,4,3,1};
	knap(w,v,W,n,1,0,0,op);
	disp(x,n);
        return 0;
} 

　　左剪枝

void knap(int w[],int v[],int W,int n,int i,int tw,int tv,int op[]){
	int j;
	if(i>n){
		if(tw<W && tv>maxv){
			maxv = tv;
			maxw = tw;
			for(j=1;j<=n;j++)
				x[j] = op[j];
		}
	}
	else{
		if(tw+w[i] < W)
		{
			op[i] = 1;
			knap(w,v,W,n,i+1,tw+w[i],tv+v[i],op);
		}
		op[i] = 0;
		knap(w,v,W,n,i+1,tw,tv,op);
	}
}

　　右剪枝

void knap(int w[],int v[],int W,int n,int i,int tw,int tv,int op[]){
	int j,m;
	if(i>n){
		if(tw<W && tv>maxv){
			maxv = tv;
			maxw = tw;
			for(j=1;j<=n;j++)
				x[j] = op[j];
		}
	}
	else{
		if(tw+w[i] < W)
		{
			op[i] = 1;
			knap(w,v,W,n,i+1,tw+w[i],tv+v[i],op);
		}
		op[i] = 0;
		m=0;
		for(j=0;j<i;j++)
			if(op[j] == 0)	m++;
		if(m<=1) 
			knap(w,v,W,n,i+1,tw,tv,op);
	}
}

　　

#include<stdio.h>#define Maxn 10#define MaxSize 1000typedef struct{//幂集类型int data[MaxSize][Maxn];//data[i][0] 表示该子集的长度int n;//幂集的个数}pSetType;void copy(int a[],int b[],int m){//将a[0...m]复制到b[0...m]int i;for(i=0;i<=m;i++)b[i] = a[i];}void pset(int n,pSetType &p){//求1~n的幂集pint i,j,m;int a[Maxn];p.data[0][0] = 0;p.n = 1;for(i=1;i<=n;i++){m = p.n;for(j=0;j<m;j++){copy(p.data[j],a,p.data[j][0]);a[0]++;a[a[0]] = i;copy(a,p.data[p.n],a[0]);p.n++; }}}void knap(pSetType p,int w[],int v[],int W){int i,j;int sumw,sumv;int maxi,maxsumw = 0,maxsumv = 0;printf("序号 选中物品 总重量 总价值 能否装入 ");for(i=0;i<p.n;i++){printf("%d ",i+1);sumw = sumv = 0;printf("{");for(j=1;j <= p.data[i][0];j++){printf("%d",p.data[i][j]);sumv += v[p.data[i][j] - 1];sumw += w[p.data[i][j] - 1]; }printf("} %d %d ",sumw,sumv);if(sumw<=W){printf("能 ");if(sumv > maxsumv){maxsumw = sumw;maxsumv = sumv;maxi = i;} }elseprintf("否 ");} printf("最佳方案: ");printf("选中物品: ");printf("{");for(j=1;j<=p.data[maxi][0];j++)printf("%d",p.data[maxi][j]);printf("},");printf("总重量 = %d,总价值 =  %d ",maxsumw,maxsumv);}int main(){int n=4,W = 7;int w[] = {5,3,2,1};int v[] = {4,4,3,1};pSetType p;pset(n,p);printf("0/1背包的求解方案 ",n);knap(p,w,v,W);printf(" ");return 0;}