剑指Offer_#42_连续子数组的最大和

剑指Offer_#42_连续子数组的最大和

剑指offer

Contents

• • 题目
  • 思路分析
    • 方法1：暴力搜索
    • 方法2：分析规律得到启发式的算法
    • 方法3：动态规划
  • 解答
    • 解法1：暴力搜索
    • 解法2：观察规律
    • 解法3：动态规划

题目

输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。
要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

1 <= arr.length <= 10^5
-100 <= arr[i] <= 100

思路分析

方法1：暴力搜索

两层循环，遍历所有可能的连续子数组，比较得出他们当中最大的连续子数组和。时间超限。面试最好别这么写。

方法2：分析规律得到启发式的算法

可以从头到尾逐渐计算连续和，分析求最大连续和的过程，如下图。

发现我们可以用两个变量来保存“累加的数组和”及“最大的数组和”两个数字，在遍历数组的过程中不断更新这两个变量。
循环结束即可得到最大连续子数组和。

方法3：动态规划

• 状态定义：dp[i]是以nums[i]作为结尾的连续子数组的最大和。
• 状态转移：
  • dp[i] = dp[i - 1] + nums[i] (dp[i - 1] > 0)
  • dp[i] = nums[i] (dp[i - 1] <= 0)

其实这个思路跟方法2写出的代码几乎一样，只不过感觉这样分析更符合“套路”，更通用一些。

解答

解法1：暴力搜索

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int max = nums[0];
        int sum = nums[0];
        for(int i = 0;i <= nums.length - 1;i++){
            //进入第二层循环之前，sum需要重置，因为这时开始算另一个连续子数组了
            sum = 0;
            for(int j = i; j <= nums.length - 1;j++){
                //计算从nums[i]开始的所有连续和,作为最大值的候选
                sum += nums[j];
                max = Math.max(max, sum);//更新max
            }
        }
        return max;
    }
}

超出时间限制。

解法2：观察规律

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int tmpSum = nums[0];//保存当前的连续和（可能是最大连续和）
        int maxSum = nums[0];//保存结果
        for(int num:nums){
            //如果加上之前的连续还没有当前的num大，就可以抛弃前面的tmpSum了
            tmpSum = Math.max(tmpSum + num,num);
            maxSum = Math.max(tmpSum, maxSum);
        }
        return maxSum;
    }
}

解法3：动态规划

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int res = nums[0];//存储结果
        int cur = nums[0];//存储dp[i]
        int pre = 0;//存储dp[i-1]
        for(int num:nums){
            //当dp[i-1] > 0:dp[i] = dp[i-1] + num
            //当dp[i-1] <= 0:dp[i] = num
            cur = num + Math.max(pre, 0);
            res = Math.max(res ,cur);
            //状态更新，本轮循环的cur,是下轮循环的cur
            pre = cur;
        }
        return res;
    }
}