该系列为DR_CAN Advanced控制理论视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。
1 一维的例子
一个简单的例子：注意平衡点与稳定点的区别：
另一个例子，这里并不是标准的相图，因为 (x-cos x) 不好画，因此图中单独绘制了两条曲线，分析其差值即可：
2 二维的例子
2.1 特征值为实数
令 (b=c=0) 求其平衡点：
三种特殊情况，三个点分别叫source、saddle、sink：
以上是三种特殊情况，下面是一般形式的分析，首先回顾如何通过特征值与特征向量求解微分方程组：
计算实际例子，这里我们用特征值与特征向量求解这个微分方程组。需要注意的是这里的y和系统输出y不是一个y。通过分析y的相图我们可以得到y的性质，而向量x与y为线性变换的关系，实际上把基变换到了特征向量上。这样我们可以通过绘制出特征向量来进一步绘制出x的相图：
我们发现x与y的性质是相同的，也就是说我们可以通过分析A矩阵的特征值来分析系统的稳定性。
2.2 特征值为复数
2.2.1 特征值为纯虚数
某些矩阵可能没有实特征值，而复特征值对应的特征向量是没有方向的。这时我们求出先根据特征向量求出 (x_1) (x_2) 的值，然后通过欧拉公式展开成三角函数形式。考虑到当线性微分方程的解是由两个项相加而成时，每一个项单独拿出来都是微分方程的解。因此我们可以我们去掉复数部分，可以得到 (x_1) (x_2) 满足一个椭圆的方程，也就是说在特征值是纯虚数的情况下系统的相图是一个椭圆：
至于椭圆的方向我们可以任取一个特殊位置来判断：
我们发现在这种情况下 (x_1) (x_2) 的变化是一个循环往复的情况。
2.2.2 特征值同时含有实部虚部
这里特征值既包含实部也包含虚部，写出向量y的表达式，由于x与y的性质是相同的因此这里不再像上一个例子那样求向量 (x_1) (x_2) 的值了。根据上一个例子我们知道 (e^{2it}) 与 (e^{-2it}) 在相图中表示为圆，而 (e^t) 意味着随时间的增加而不断增大，因此该相图应为向外的螺旋线。同样的，螺旋方向也可以根据上一个例子中的方法，即选取特殊点来判断：
3 总结
