冲激响应与卷积

该系列为DR_CAN工程数学基础系列视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。

1 卷积定义

函数 (f,g) 是定义在 (R^{n})上的可测函数（measurable function）， (f,g) 的卷积记作(f * g)，它是其中一个函数翻转，并平移后，与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数，也就是：

[(f * g)(t) stackrel{ ext { def }}{=} int_{mathbb{R}^{n}} f( au) g(t- au) d au ]

如果函数不是定义在 (R^{n})上，可以把函数定义域以外的值都规定成零，这样就变成一个定义在 (R^{n})上的函数。

2 冲激响应定义

在信号处理中，冲激响应（英语：Impulse response）一般是指系统在输入为单位脉冲函数时的输出（响应），是暂态响应中的一种。对于连续时间系统来说，脉冲响应一般用函数 (h(t, au)) 来表示，相对应的输入信号，也就是单位脉冲函数满足狄拉克δ函数的形式，其函数定义如下：

[delta(t)=0, t eq 0\int_{-infty}^{infty} delta(t) d t=1 ]

在输入为狄拉克δ函数时，系统的脉冲响应 (h(t)) 包含了系统的所有信息。所以对于任意输入信号 (x(t)) ，可以用连续域卷积的方法得出所对应的输出 (y(t)) 。也就是：

[y(t)=int_{-infty}^{infty} x( au) h(t- au) d au=x(t) * h(t) ]

对于离散时间系统来说，脉冲响应一般用序列 (h[n]) 来表示，相对应的离散输入信号，也就是单位脉冲函数满足克罗内克δ的形式，在信号与系统科学中可以定义函数如下：

[delta[n]=left{egin{array}{ll} 1, & n=0 \ 0, & n eq 0 end{array} ight. ]

同样道理，在输入为 (delta[n]) 时，离散系统的脉冲响应 (h[n]) 包含了系统的所有信息。所以对于任意输入信号 (x[n]) ，可以用离散域卷积（求和）的方法得出所对应的输出信号 (y[n]) 。也就是：

[y[n]=sum_{k=0}^{infty} x[k] h[n-k] ]

3 线性非时变系统

4 弹簧阻尼系统的例子

对于一个线性系统来说，他的输出相应 (x(t)) 就等于输入 (f(t)) 与其传递函数 (H(s)) 经过拉普拉斯逆变换后得到的冲激响应 (h(t)) 的卷积：

我们将输入信号的一段离散分成三个 (Delta T) ，这三个部分分别会对系统产生作用，并且作用之间相互独立，即产生对应的相互独立的输入响应，也就是输出。而某一时刻 (t) 系统的输出，即为 (t) 时刻前各输入响应的加和，当 (Delta T ightarrow 0) 时，这个加和就变成了积分：

同样的，当 (Delta T ightarrow 0) 时， (t) 时刻的这一小段输入就可以近似为冲激函数的 (f(t)) 倍。根据线性非时变系统的性质，我们可以得到这个输入与输出的表格：

其中第一行即为一个冲击产生的影响，可以理解为一个基本形式

第二行表示这个冲击延后 (iDelta T) 时间后，输入响应也将延后 (iDelta T)

第三行则意味着冲激强度（图像面积）为 (A) 时，并且延后 (iDelta T) 后，系统的输入响应将为基本形式延后 (iDelta T) 的 (A) 倍

第四行即为第三行的推广，通过把 (A) 替换成输入函数在 (iDelta T) 时刻下， (Delta T) 小段的面积。他表示这个系统对一个面积为 (Delta T f(iDelta T)) 的冲击输入在延迟 (iDelta T) 之后的输入响应

根据叠加原理，我们可以将这个时刻以前所有的输入都加在一起，这样就得到了这一时刻系统的响应。就可以写成：

[ x(t)=sum_{i=0}^{j} Delta T fleft(i Delta T ight) h_{0}(t-i Delta T) quad t=j Delta T ]

当 (Delta T ightarrow 0) 时， (iDelta T = au) ，上式就可以写成卷积的形式：

[x(t)=int_{-infty}^{infty} f( au) h(t- au) d au=f(t) * h(t) ]

5 启发

通过以上分析，我们可以发现，对于线性非时变系统，冲激响应 (h(t)) 可以完全定义系统。这也就是我们把传递函数表示为 (H(s)) 的原因，即冲激响应 (h(t)) 经过拉普拉斯变换后得到传递函数 (H(s)) 。