梯度算法之梯度上升和梯度下降
- 方向导数
当讨论函数沿任意方向的变化率时，也就引出了方向导数的定义，即：某一点在某一趋近方向上的导数值。
导数和偏导数的定义中，均是沿坐标轴正方向讨论函数的变化率。那么当讨论函数沿任意方向的变化率时，也就引出了方向导数的定义，即：某一点在某一趋近方向上的导数值。
通俗的解释是： 我们不仅要知道函数在坐标轴正方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
- 梯度
函数在某一点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
注意点：
1）梯度是一个向量
2）梯度的方向是最大方向导数的方向
3）梯度的值是最大方向导数的值
- 梯度下降与梯度上升
在机器学习算法中，在最小化损失函数时，可以通过梯度下降思想来求得最小化的损失函数和对应的参数值，反过来，如果要求最大化的损失函数，可以通过梯度上升思想来求取。
梯度下降
关于梯度下降的几个概念
梯度下降的代数方法描述
梯度下降的矩阵方式描述
梯度上升
梯度上升和梯度下降的分析方式是一致的，只不过把 θθ 的更新中 减号变为加号。
梯度下降的算法优化
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算法的步长选择。在前面的算法描述中，我提到取步长为1，但是实际上取值取决于数据样本，可以多取一些值，从大到小，分别运行算法，看看迭代效果，如果损失函数在变小，说明取值有效，否则要增大步长。前面说了。步长太大，会导致迭代过快，甚至有可能错过最优解。步长太小，迭代速度太慢，很长时间算法都不能结束。所以算法的步长需要多次运行后才能得到一个较为优的值。
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算法参数的初始值选择。 初始值不同，获得的最小值也有可能不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；当然如果损失函数是凸函数则一定是最优解。由于有局部最优解的风险，需要多次用不同初始值运行算法，关键损失函数的最小值，选择损失函数最小化的初值。
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归一化。由于样本不同特征的取值范围不一样，可能导致迭代很慢，为了减少特征取值的影响，可以对特征数据归一化，也就是对于每个特征x，求出它的均值 x¯和标准差std(x)，然后转化为：
这样特征的新期望为0，新方差为1，迭代次数可以大大加快。
梯度算法之批量梯度下降，随机梯度下降和小批量梯度下降
在机器学习领域，体梯度下降算法分为三种
- 批量梯度下降算法（BGD，Batch gradient descent algorithm）
- 随机梯度下降算法（SGD，Stochastic gradient descent algorithm）
- 小批量梯度下降算法（MBGD，Mini-batch gradient descent algorithm）
批量梯度下降算法
BGD是最原始的梯度下降算法，每一次迭代使用全部的样本，即权重的迭代公式中(公式中用θ代替θi)，
这里的m代表所有的样本，表示从第一个样本遍历到最后一个样本。
特点：
- 能达到全局最优解，易于并行实现
- 当样本数目很多时，训练过程缓慢
随机梯度下降算法
SGD的思想是更新每一个参数时都使用一个样本来进行更新，即公式（1）中m为1。每次更新参数都只使用一个样本，进行多次更新。这样在样本量很大的情况下，可能只用到其中的一部分样本就能得到最优解了。
但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
特点：
- 训练速度快
- 准确度下降，并不是最优解，不易于并行实现
小批量梯度下降算法
MBGD的算法思想就是在更新每一参数时都使用一部分样本来进行更新，也就是公式（1）中的m的值大于1小于所有样本的数量。
相对于随机梯度下降，Mini-batch梯度下降降低了收敛波动性，即降低了参数更新的方差，使得更新更加稳定。相对于批量梯度下降，其提高了每次学习的速度。并且其不用担心内存瓶颈从而可以利用矩阵运算进行高效计算。一般而言每次更新随机选择[50,256]个样本进行学习，但是也要根据具体问题而选择，实践中可以进行多次试验，选择一个更新速度与更次次数都较适合的样本数。mini-batch梯度下降可以保证收敛性，常用于神经网络中。
补充
在样本量较小的情况下，可以使用批量梯度下降算法，样本量较大的情况或者线上，可以使用随机梯度下降算法或者小批量梯度下降算法。
在机器学习中的无约束优化算法，除了梯度下降以外，还有前面提到的最小二乘法，此外还有牛顿法和拟牛顿法。
梯度下降法和最小二乘法相比，梯度下降法需要选择步长，而最小二乘法不需要。梯度下降法是迭代求解，最小二乘法是计算解析解。如果样本量不算很大，且存在解析解，最小二乘法比起梯度下降法要有优势，计算速度很快。但是如果样本量很大，用最小二乘法由于需要求一个超级大的逆矩阵，这时就很难或者很慢才能求解解析解了，使用迭代的梯度下降法比较有优势。
梯度下降法和牛顿法/拟牛顿法相比，两者都是迭代求解，不过梯度下降法是梯度求解，而牛顿法/拟牛顿法是用二阶的海森矩阵的逆矩阵或伪逆矩阵求解。相对而言，使用牛顿法/拟牛顿法收敛更快。但是每次迭代的时间比梯度下降法长。
参考资料：
https://blog.csdn.net/gamer_gyt/article/details/78797667
https://blog.csdn.net/gamer_gyt/article/details/78806156