[BZOJ4772]显而易见的数论(数论)

4772: 显而易见的数论

Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MB
Submit: 76  Solved: 32
[Submit][Status][Discuss]

Description

Input

Output

Sample Input

input 1
1
3 3
0 1 2

input 2
2
5 4
4 1 5 2

input 3
3
7 5
12 11 45 6 2

Sample Output

output 1

4

output 2
31

output 3
7346

HINT

Source

[Submit][Status][Discuss]

预处理即$O(1)$求$F$显然不是瓶颈，关键是g和最终答案的求法。

比较自然的思路是枚举$p_i$,$p_j$，算出它们的出现次数和贡献，累计结果。

这个分情况讨论，整数划分DP一下就好了。

https://www.cnblogs.com/xiaoxubi/p/6927810.html

然后根据一波迷之推导得出$g$是一个积性函数，这样线性筛预处理即可。

https://blog.csdn.net/v5zsq/article/details/76714310

这样时间复杂度问题方面就解决了，然而这题卡时卡空间，任何一个取模运算较多的操作都有可能超时。

可以看出$p_i eq p_j$的常数过大，所以用$cnt$数组先统计出$a[i]$一共被累计了几次，最后一起乘起来就好了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
using namespace std;

const int N=2010,M=10000010,mod=1000000007;
int type,n,K,tot,ans,gcd[N][N],f[N][N],sum[N],mul[N][N];
int tmp[M],cnt[M],g[M],pri[M],a[M];
bool jud[M];

void add(int &x,int y){ x+=y; if (x>=mod) x-=mod; }

void pre1(){
    sum[n]=1;
    rep(i,1,n) rep(j,1,n){
        if (i==1 || j==1) f[i][j]=1;
        else if (j==i) f[i][j]=(f[i][j-1]+1)%mod;
            else if (j<i) f[i][j]=(f[i-j][j]+f[i][j-1])%mod;
                else f[i][j]=f[i][j-1];
        sum[n-i]=f[i][i];
    }
}

void pre2(){
    g[0]=0; g[1]=1;
    rep(i,2,10000000){
        if (!jud[i]) pri[++tot]=tmp[i]=i,g[i]=(2*i-2)%mod;
        for (int j=1; j<=tot && i*pri[j]<=M; j++){
            jud[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]) tmp[i*pri[j]]=pri[j],g[i*pri[j]]=g[i]*g[pri[j]]%mod;
            else{
                tmp[i*pri[j]]=tmp[i]*pri[j];
                if (tmp[i]!=i) g[i*pri[j]]=1ll*g[i/tmp[i]]*g[tmp[i]*pri[j]]%mod;
                    else g[i*pri[j]]=(1ll*g[i]*pri[j]+i*pri[j]-i)%mod;
                break;
            }
        }
    }
}

void pre3(){
    rep(i,1,n) gcd[i][0]=gcd[0][i]=gcd[i][i]=i,gcd[1][i]=gcd[i][1]=1;
    rep(i,2,n) rep(j,2,i){
        if (!gcd[i][j]) gcd[i][j]=gcd[j][i-j];
        gcd[j][i]=gcd[i][j];
    }
    rep(i,1,n){
        mul[i][0]=1;
        rep(j,1,n) mul[i][j]=1ll*mul[i][j-1]*i%K;
    }
}

int F(int pi,int pj){
    if (type==1) return 1%K;
    if (type==2) return gcd[pi][pj]%K;
    if (type==3) return (mul[pi][pj]+mul[pj][pi]+(pi^pj))%K;
    return 0;
}

int main(){
    freopen("bzoj4772.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4772.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&type,&n,&K);
    for (int i=0; i<K; i++) scanf("%d",&a[i]);
    pre1(); pre2(); pre3();
    /*
    rep(i,1,n) rep(j,i+1,n-i)
        for (int muli=1; i*muli<=n-j; muli++)
            for (int mulj=1; i*muli+j*mulj<=n; mulj++){
                int t=(sum[muli*i+mulj*j]-sum[(muli+1)*i+mulj*j]-sum[muli*i+(mulj+1)*j]+sum[(muli+1)*i+(mulj+1)*j])%mod;
                add(cnt[F(i,j)],1ll*muli*mulj*(t+mod)%mod);
            }
    */
    rep(i,1,n) rep(j,i+1,n-i)
        for (int muli=1; i*muli<=n-j; muli++)
            for (int mulj=1; i*muli+j*mulj<=n; mulj++) add(cnt[F(i,j)],sum[muli*i+mulj*j]);
    for (int i=0; i<K; i++) add(ans,1ll*g[a[i]]*cnt[i]%mod);
    rep(i,1,n) for (int muli=1; i*muli<=n; muli++)
        add(ans,(1ll*g[a[F(i,i)]]*((muli*(muli-1)/2)%mod))%mod*(sum[muli*i]-sum[(muli+1)*i]+mod)%mod);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}