[BZOJ3142][HNOI2013]数列(组合数学)

3142: [Hnoi2013]数列

Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 1721  Solved: 854
[Submit][Status][Discuss]

Description

小 T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察 到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K- 1)<N。
小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16
【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：
{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

HINT

Source

[Submit][Status][Discuss]

只能说太妙了。如果考虑枚举每一天的股价的话，由于后一天的受到前一天的影响，所以统计起来非常麻烦。既然题目要求的是每个增量不超过m，那为什么不从增量的角度考虑呢？题目"$m*(k-1) leqslant n$"就是在提示这一点。

有了这个保证，我们可以确定合法的增量序列数为$m^{k-1}$，故共有$m^{k-1}*(k-1)$个数。由于每个数出现次数相同，所以根据等差数列即可求解。

https://blog.csdn.net/xieguofu2014/article/details/50285219

连乘式注意取模！注意取模！注意取模！

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
typedef long long ll;
using namespace std;

ll m,n,k,p,ans;

ll ksm(ll a,ll b){
    ll res;
    for (res=1; b; a=(a*a)%p,b>>=1)
        if (b & 1) res=(res*a)%p;
    return res;
}

int main(){
    freopen("seq.in","r",stdin);
    freopen("seq.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&p);
    printf("%lld
",(n%p*ksm(m%p,k-1)%p-ksm(m%p,k-2)*(k-1)%p*(((m+1)*m/2)%p)%p+p)%p);
    return 0;
}