[BZOJ1937][SHOI2004]Mst最小生成树(KM算法,最大费用流)

1937: [Shoi2004]Mst 最小生成树

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Description

Input

第 一行为N、M，其中 表示顶点的数目， 表示边的数目。顶点的编号为1、2、3、……、N-1、N。接下来的M行，每行三个整数Ui，Vi，Wi，表示顶点Ui与Vi之间有一条边，其权值为 Wi。所有的边在输入中会且仅会出现一次。再接着N-1行，每行两个整数Xi、Yi，表示顶点Xi与Yi之间的边是T的一条边。

Output

输出最小权值

Sample Input

6 9
1 2 2
1 3 2
2 3 3
3 4 3
1 5 1
2 6 3
4 5 4
4 6 7
5 6 6
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6

Sample Output

8

【样例说明】

边(4,6)的权由7修改为3，代价为4
边(1,2)的权由2修改为3，代价为1
边(1,5)的权由1修改为4，代价为3
所以总代价为4+1+3=8

修改方案不唯一。

HINT

 1<=n<=50,1<=m<=800,1<=wi<=1000

n-->点数..m-->边数..wi--->边权

Source

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注意到我们只可能增大树边，减小非树边，那么设每条边的改动幅度为$|d[i]|$，那么对于一条树边i和非树边j，必有$w[i]-d[i] leqslant w[j]+d[j]$，即$w[i]-w[j] leqslant d[i]+d[j]$。于是我们把边看作点，按是否为树边将所有边分成二分图，树边i与非树边j的边设为w[i]-w[j]。可以发现d[i]实际上就是KM算法中的顶标。所以求一次KM算法并将所有匹配相加就是答案，因为不在匹配里的d[i]直接作为0即可。

重新复习一下KM算法。先将X部分的d[x]设为$max{w[x][y]}$，Y部分的d[y]设为0，然后求m次增广（直到有完备匹配）。每次增广如果失败，则设$mn=min{a[i]+b[j]-w[i][j]}$，将所有交错树上的d[x]+=mn,d[y]-=mn。

理论依据：若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i][j]的边<i,j>构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。所以这是一个不断修改顶标并在相等子图上做完备匹配的过程。（任意i,j保证$d[i]+d[j] geqslant w[i][j]$）。

定理：每次增广顶标和必然变小，最后一定是满足$d[i]+d[j] geqslant w[i][j]$的最小可能。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mem(a,k) memset(a,k,sizeof(a))
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
using namespace std;

const int N=2000100,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,u,v,ww,x,y,ans;
int mp[60][60],w[1010][1010],lk[1010],lx[1010],ly[1010],vx[1010],vy[1010],s[1010],dep[60],fa[60][12];
bool chk[60][60];
struct E{ int u,v,w;}e[1010];

void dfs(int x,int f){
    fa[x][0]=f; dep[x]=dep[f]+1;
    rep(i,1,10) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    rep(i,1,n) if (i!=f && chk[x][i]) dfs(i,x);
}

int LCA(int x,int y){
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int t=dep[x]-dep[y];
    for (int i=10; ~i; i--) if (t&(1<<i)) x=fa[x][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i=10; ~i; i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}

bool find(int x){
    vx[x]=1;
    rep(y,1,m) if (!vy[y]){
        int t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];
        if (t==0){
            vy[y]=1; if (lk[y]==-1 || find(lk[y])) { lk[y]=x; return 1; }
        }else s[y]=min(s[y],t);
    }
    return 0;
}

void KM(){
    mem(lk,-1); mem(lx,-inf); mem(ly,0);
    rep(i,1,m) rep(j,1,m) lx[i]=max(lx[i],w[i][j]);
    rep(x,1,m){
        rep(i,1,m) s[i]=inf;
        while (1){
            mem(vx,0); mem(vy,0);
            if (find(x)) break;
            int d=inf;
            rep(i,1,m) if (!vy[i]) d=min(d,s[i]);
            rep(i,1,m) if (vx[i]) lx[i]-=d;
            rep(i,1,m) if (vy[i]) ly[i]+=d; else s[i]-=d;
        }
    }
    rep(i,1,m) if (lk[i]!=-1) ans+=w[lk[i]][i];
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,m) scanf("%d%d%d",&u,&v,&ww),e[i]=(E){u,v,ww},mp[u][v]=mp[v][u]=i;
    rep(i,2,n) scanf("%d%d",&x,&y),chk[x][y]=chk[y][x]=1;
    dfs(1,0);
    rep(i,1,m){
        int x=e[i].u,y=e[i].v,lca=LCA(x,y);
        if (!chk[x][y]){
            while (x!=lca) w[mp[x][fa[x][0]]][i]=e[mp[x][fa[x][0]]].w-e[i].w,x=fa[x][0];
            while (y!=lca) w[mp[y][fa[y][0]]][i]=e[mp[y][fa[y][0]]].w-e[i].w,y=fa[y][0];
        }
    }
    KM(); printf("%d
",ans);
    return 0;
}

好久没写最大费用最大流了发现自己完全不会写，调了整整一上午。需要注意：dis[]初始要赋为-inf，bfs()返回真的条件是dis[T]>0，其余不变。因为边里会有负值。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
#define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=2000100,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,u,v,w,x,y,S,T,mn,cnt=1,ans;
int to[N],f[N],c[N],nxt[N],h[1010],pre[1010],dis[1010],q[N];
int mp[60][60],dep[60],fa[60][12];
bool inq[N],chk[60][60];
struct E{ int u,v,w;}e[1010];

void add(int u,int v,int w,int co){
    to[++cnt]=v; f[cnt]=w; c[cnt]=co; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt;
    to[++cnt]=u; f[cnt]=0; c[cnt]=-co; nxt[cnt]=h[v]; h[v]=cnt;
}

bool spfa(){
    rep(i,0,T) dis[i]=-inf,pre[i]=-1,inq[i]=0;
    dis[S]=0; inq[S]=1; q[1]=S;
    for (int st=0,ed=1; st!=ed; ){
        int x=q[++st]; inq[x]=0;
        For(i,x) if (f[i] && dis[k=to[i]]<dis[x]+c[i]){
            dis[k]=dis[x]+c[i]; pre[k]=i;
            if (!inq[k]) inq[k]=1,q[++ed]=k;
        }
    }
    return dis[T]>0;
}

void mcmf(){
    for (ans=0; spfa(); ans+=dis[T]*mn){
        mn=inf;
        for (int i=pre[T]; ~i; i=pre[to[i^1]]) mn=min(mn,f[i]);
        for (int i=pre[T]; ~i; i=pre[to[i^1]]) f[i]-=mn,f[i^1]+=mn;
    }
}

void dfs(int x,int f){
    fa[x][0]=f; dep[x]=dep[f]+1;
    rep(i,1,10) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    rep(i,1,n) if (i!=f && chk[x][i]) dfs(i,x);
}

int LCA(int x,int y){
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int t=dep[x]-dep[y];
    for (int i=10; ~i; i--) if (t&(1<<i)) x=fa[x][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i=10; ~i; i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}

int main(){
    freopen("bzoj1937.in","r",stdin);
    freopen("bzoj1937.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,m) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),e[i]=(E){u,v,w},mp[u][v]=mp[v][u]=i;
    rep(i,2,n) scanf("%d%d",&x,&y),chk[x][y]=chk[y][x]=1;
    dfs(1,0); S=m+1; T=m+2;
    rep(i,1,m){
        int x=e[i].u,y=e[i].v;
        if (chk[x][y]) add(S,i,1,0);
        else{
            add(i,T,1,0); int lca=LCA(x,y);
            while (x!=lca) add(mp[x][fa[x][0]],i,1,e[mp[x][fa[x][0]]].w-e[i].w),x=fa[x][0];
            while (y!=lca) add(mp[y][fa[y][0]],i,1,e[mp[y][fa[y][0]]].w-e[i].w),y=fa[y][0];
        }
    }
    mcmf(); printf("%d
",ans);
    return 0;
}