[BZOJ3598][SCOI2014]方伯伯的商场之旅(数位DP,记忆化搜索)

3598: [Scoi2014]方伯伯的商场之旅

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Description

方伯伯有一天去参加一个商场举办的游戏。商场派了一些工作人员排成一行。每个人面前有几堆石子。说来也巧，位置在 i 的人面前的第 j 堆的石子的数量，刚好是 i 写成 K 进制后的第 j 位。

现在方伯伯要玩一个游戏，商场会给方伯伯两个整数 L,R。方伯伯要把位置在 [L, R] 中的每个人的石子都合并成一堆石子。每次操作，他可以选择一个人面前的两堆石子，将其中的一堆中的某些石子移动到另一堆，代价是移动的石子数量 * 移动的距离。商场承诺，方伯伯只要完成任务，就给他一些椰子，代价越小，给他的椰子越多。所以方伯伯很着急，想请你告诉他最少的代价是多少。

例如：10 进制下的位置在 12312 的人，合并石子的最少代价为：

1 * 2 + 2 * 1 + 3 * 0 + 1 * 1 + 2 * 2 = 9

即把所有的石子都合并在第三堆

Input

输入仅有 1 行，包含 3 个用空格分隔的整数 L，R，K，表示商场给方伯伯的 2 个整数，以及进制数

Output

 输出仅有 1 行，包含 1 个整数，表示最少的代价。

Sample Input

3 8 3

Sample Output

5

HINT

 1 < =  L < =  R < =  10^15, 2 < =  K < =  20

Source

By 佚名提供

一眼数位DP，但是具体实现感觉非常难以理解。

主要思路是：先默认每个人都将式子移到最低的那一位上去，然后从2开始枚举如果将其中一些人的石子从i-1移到i最终结果会优多少。

第一个DP就是普通的数位DP，但是第二个DP就有一个很难处理的问题：如何确定到底那些人的石子可以（或需要）从i-1移到i，因为每个人最终所选的那一位都不同。

这里有一种新型的记忆化搜索，dfs(i,sum,lim)表示（从高到低）前i位将（那些可以或需要移动的）人移动，且前i位已经变优了sum，所能得到的最终解（也就是最后最多能变优多少）。一般记搜都是形如dfs(i)+=dfs(i+1)+f(i)的（最终返回的sum)，但这种记搜是dfs(i,sum,lim)+=dfs(i+1,sum+f[i],lim')（最终返回的仍然是sum，只是在递归底层被处理过的sum）。也就是说，普通记搜记录的是这个状态到目标状态（递归底层）的信息，而这种记录的是初始状态到这个状态的信息。

这种记搜实际上不应该从DP的角度去理解，而是应该从搜索的角度，实际上就是一个记录了中间状态（sum）的搜索，在底层进行处理。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
#define ll long long
using namespace std;

int k,num[60];
ll l,r,len,f[60][9*20*20][2];

ll dfs1(int pos,int sum,bool lim){
    if (pos>len) return sum;
    if (f[pos][sum][lim]!=-1) return f[pos][sum][lim];
    ll res=0; int end=(lim?num[pos]:k-1);
    rep(i,0,end) res+=dfs1(pos+1,sum+i*(pos-1),lim && (i==end));
    return f[pos][sum][lim]=res;
}

ll dfs2(int pos,int sum,int m,bool lim){
    if (pos>len) return max(sum,0);
    if (f[pos][sum][lim]!=-1) return f[pos][sum][lim];
    ll res=0; int end=(lim?num[pos]:k-1);
    rep(i,0,end) res+=dfs2(pos+1,sum+((pos<m)?-i:i),m,lim && (i==end));
    return f[pos][sum][lim]=res;
}

ll solve(ll n){
    len=0; while (n) num[++len]=n%k,n/=k;
    reverse(num+1,num+len+1);
    memset(f,-1,sizeof(f));
    ll res=dfs1(1,0,1);
    rep(i,2,len) memset(f,-1,sizeof(f)),res-=dfs2(1,0,i,1);
    return res;
}

int main(){
    freopen("bzoj3598.in","r",stdin);
    freopen("bzoj3598.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%d",&l,&r,&k);
    printf("%lld
",solve(r)-solve(l-1));
    return 0;
}