群论
置换
就是 n 个元素的一个全排列，实际上是一个一一映射。
然后置换之间定义乘法：
[f={1,3,2}\
g={2,1,3}\
f*g={2,3,1}
]
然后置换乘法满足结合律不满足交换律。。
然后每个置换可以分解成唯一的一组循环乘积
eg：
({3,5,1,4,2}=(1 3)(2 5)(4))
为什么要分解成循环？这样可以方便求出不动点。
群
给定一个集合 (G) 和集合上的二元运算 (*)，如果满足以下条件：
（1）封闭性。
（2）结合律。
（3）存在单位元。
（4）存在逆元。
则称集合 (G) 是运算 (*) 下的一个群，记为 ((G,*)) 。
然后置换群就是集合 (G) 为置换，二元运算为置换乘法的群。
在置换群的作用下，元素存在等价关系。等价关系满足自反性、对称性、传递性。满足等价关系的元素处于同一个等价类中。
Burnside 引理
对于一个置换 (f)，若一个染色方案 (s) 经过 (f) 后不变，则称 (s) 为 (f) 的不动点。
记 (f) 的不动点个数为 (C(f))，则对于一个置换群，等价类个数为所有 $C(f) $ 的平均值。
Polya 定理
将置换变为循环的乘积形式后，循环节为循环的个数。
对于一个置换 (f)，(C(f)=k^{m(f)})，其中 (k) 为每个点可能的值，(m(f)) 为 (f) 的循环节。
再结合 Burnside 引理，在置换群中，等价类个数等于所有置换 (f) 的 (C(f)) 的平均数。
然后这些东西的作用一般是用来解决一些等价类计数问题。。
关键在于找到所有的置换，然后想办法求出他们的循环或者不动点。。
然后很多题目要从循环乘积的角度找性质来做。。。
https://blog.csdn.net/xym_csdn/article/details/53456447