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前些天因为某些原因,就试着回想一下图(graph)的相关内容,没想脑子里一片空白,只怪当初没有好好听这门课.然后就学习了一下,这里做个小总结.
1.概念
简单图(simple graph):就是由一些顶点(V,vertice) 和 连接这些顶点的一些边(E,edge)所组成的结构,并且每对顶点之间只能存在一条边.所以通常会用G = (V,E)来表示一个简单图.简单图也被称为无向图(undirected graph).
说到无向图就一定有有向图(directed graph),有向图同样也用G = (V,E)来表示,都明白两种图的区别是什么,就不多说了.不过在这里说一些表示边时候的区别:
简单图的边使用{Vi,Vj}的方式表示,表示连接顶点i与顶点j的边.因为是简单图,所以有:
- {Vi,Vj} = {Vj,Vi,}
有向图的边使用(Vi,Vj)的方式表示.意思是当前边的方向是从顶点i到顶点j,所以很明显有:
- (Vi,Vj) ≠ (Vj,Vi)
2.图的表示
有很多方法可以表示一个图,不过思想上大致都一样.比如下面一个图(本文之后都会用这个图来作为例子):
图1
自己画的,或许丑了点:)
先看使用邻接表(adjacency list)来表示该图:
| V0 | V1 V2 |
| V1 | V0 V3 |
| V2 | V0 V3 V4 |
| V3 | V1 V2 V5 V6 |
| V4 | V2 V7 |
| V5 | V3 V6 |
| V6 | V3 V5 |
| V7 | V4 |
仔细观察就会发现，邻接表是在首列按顺序（正序倒序都可）列出所有顶点，然后第二行列出与顶点相邻的所有顶点，例如第一行，图中与V0相邻的顶点有V1与V2.所以第二列的内容便是 V1 与 V2.
另一种表示方法是使用邻接矩阵（adjacency matrix），思想与邻接表大致相同，不同的是邻接表是将与某一顶点相邻的顶点们列出，而邻接矩阵是将他们标注出。顾名思义就是使用矩阵表示，如在本例中，一共有8个顶点，所以此时邻接矩阵的大小就为8*8。如下：
| V0 | V1 | V2 | V3 | V4 | V5 | V6 | V7 | |
| V0 | oo | 1 | 1 | oo | oo | oo | oo | oo |
| V1 | oo | oo | oo | 1 | oo | oo | oo | oo |
| V2 | oo | oo | oo | 1 | 1 | oo | oo | oo |
| V3 | oo | 1 | 1 | oo | oo | 1 | 1 | oo |
| V4 | oo | oo | 1 | oo | oo | oo | oo | 1 |
| V5 | oo | oo | oo | 1 | oo | oo | 1 | oo |
| V6 | oo | oo | oo | 1 | oo | 1 | oo | oo |
| V7 | oo | oo | oo | oo | 1 | oo | oo | oo |
观察可以发现，如果顶点i与顶点j之间存在边，就将矩阵的aij项设为1，其他情况就设为无穷大(oo)。公式就是：
｛ 1 边(Vi ,Vj)存在
aij = {
｛ 无穷大 其他情况
如果对于有向图,此公式就得改为:
｛ 1 边{Vi ,Vj}存在
aij = {
｛ 无穷大 其他情况
对于使用哪种表示法，这要取决与你所要处理的问题，如果你仅仅只是处理与某一顶点邻接的顶点，例如遍历，很明显使用表比使用矩阵所要步数要少很多。当你需要对图进行插入或者删除顶点的操作，就应该使用邻接矩阵，你只需要将矩阵上的数从0变为1，或者从1变为0即可。而使用邻接表，你还得要对表进行维护。
本例就选用邻接矩阵来表示图1,用二维数组就能直接实现,无穷大被换成了名为oo的变量.如下:
1 int oo = Integer.MAX_VALUE; 2 int[][] racs1 = new int[][]{ 3 {oo, 1, 1,oo,oo,oo,oo,oo}, 4 { 1,oo,oo, 1,oo,oo,oo,oo}, 5 { 1,oo,oo, 1, 1,oo,oo,oo}, 6 {oo, 1, 1,oo,oo, 1, 1,oo}, 7 {oo,oo, 1,oo,oo,oo,oo, 1}, 8 {oo,oo,oo, 1,oo,oo, 1,oo}, 9 {oo,oo,oo, 1,oo, 1,oo,oo}, 10 {oo,oo,oo,oo, 1,oo,oo,oo}, 11 };
除此之外,这里还设定义了一个数组,用于为每个顶点添加一些信息.也就是各个顶点的名字.如果对与具体的问题,例如每个顶点代表地图上的一个城市,可使用像"北京","上海"城市名.当然可以很据特定情况将顶点的相关内容封装一下.
1 String[] verticeInfos1 = new String[] { 2 "V0","V1","V2","V3","V4","V5","V6","V7" 3 };
另:有一种图中有孤立顶点的情况，假设上面的图中有还有一个顶点V8，但它不与任何其他顶点相邻，则该怎么用表或者矩阵来表示那？就当留给大家的一个小问题。
3.图的遍历
3.1 先写一个名为Graph的类.用这个类来封装图的相关字段和遍历方法.先看类的字段与构造方法:
1 /** 2 * 使用邻接矩阵实现图<p> 3 * 深度优先遍历与广度优先遍历<p> 4 * 求最短路径:<p> 5 * 1. Dijkstra 算法 <p> 6 * 2. Ford 算法 <p> 7 * 3. 通用型的纠正标记算法<p> 8 * Created by Henvealf on 16-5-22. 9 */ 10 public class Graph<T> { 11 private int[][] racs; //邻接矩阵 12 private T[] verticeInfo; //各个点所携带的信息. 13 14 private int verticeNum; //节点的数目, 15 private int[] visitedCount; //记录访问 16 private int[] currDist; //最短路径算法中用来记录每个节点的当前路径长度. 17 18 public Graph(int[][] racs, T[] verticeInfo){ 19 if(racs.length != racs[0].length){ 20 throw new IllegalArgumentException("racs is not a adjacency matrix!"); 21 } 22 if(racs.length != verticeInfo.length ){ 23 throw new IllegalArgumentException ("Argument of 2 verticeInfo's length is error!"); 24 } 25 this.racs = racs; 26 this.verticeInfo = verticeInfo; 27 verticeNum = racs.length; 28 visitedCount = new int[verticeNum]; 29 } 30 //.....其他方法 31 }
这里使用了模板来模板化 verticeInfos.
还要说明的便是数组 int[] visitedCount; 其作用是为了标记图中的顶点是否被访问过. visitedCount[i] == 0 就说明顶点 i 还未被访问过,所以在进行遍历操作前需要初始化该数组全为0.方法如下:
1 /** 2 * 将记录访问的数组初始化为0 3 */ 4 private void initVisitedCount(){ 5 for(int i = 0; i < visitedCount.length; i ++){ 6 visitedCount[i] = 0; 7 } 8 }
3.2 图的遍历和树的遍历类似,分为深度优先遍历与广度优先遍历.
深度优先遍历,简单说就是先沿着一条路线最靠左或最靠右的路线往下走,并把路过的顶点标记为已访问.一直走到无路可走,或者下一站的顶点都被已经访问过了,就顺着刚才走过的路往回看(回溯),当发现回溯中的某一顶点还有其他未被访问过的分支的时候,就选择这个分支继续,重复上面的过程继续遍历.直到回溯到了遍历的出发点,就结束遍历.但如果检查发现图中还存在未被访问过的顶点,就说明图中还存在孤立与本图的分图.此时则任意选择一个未被访问过的顶点继续访问. 最后当图中所有的顶点都被访问过的时候,就说明遍历完成.
所以这里需要一个方法,用来判断图中顶点的访问情况:
1 /** 2 * 寻找没有被访问过的顶点. 3 * @return > 0 即为还未被访问过的顶点. -1 说明所有的节点都被访问过了. 4 */ 5 private int findNotVisited(){ 6 for(int i = 0; i < noteNum; i ++){ 7 if(visitedCount[i] == 0){ 8 return i; 9 } 10 } 11 return -1; 12 }
要寻找与顶点的相邻节点时,我们可以发现简单图的邻接矩阵以对角线对称,所以寻找相邻顶点的时候只需要遍历一半就可以,大大的提高了遍历的效率,不过对于有向图就需要遍历全图.这里只讨论简单图,有向图自行修改区分便可,这里是遍历全图:
1 /** 2 * 深度遍历的递归 3 * @param begin 从第几个节点开始遍历 4 */ 5 public void DFS(int begin, Queue<T> edges){ 6 visitedCount[begin] = 1; //标记begin为已访问 7 edges.offer(verticeInfo[begin]); //加入记录队列 8 for(int a = 0; a < verticeNum; a++){ //遍历相邻的点 9 if((racs[begin][a] != Integer.MAX_VALUE)&& visitedCount[a] == 0){ //相邻的点未被访问过 10 DFS(a,edges); 11 } 12 } 13 } 14 15 /** 16 * 开始深度优先遍历 17 * @return 返回保持有遍历之后的顺序的队列 18 */ 19 public Queue<T> depthFirstSearch(){ 20 initVisitedCount(); //将记录访问次序的数组初始化为0 21 Queue<T> edges = new LinkedList<>(); //用于存储遍历过的点,用于输出 22 int begin = -1; 23 while((begin = findNotVisited()) != -1){ //不等于-1说明还有未访问过的点 24 DFS(begin,edges); 25 } 26 return edges; 27 }
广度优先遍历.与树的广度优先遍历相似,就是逐层遍历.代码如下:
1 /** 2 * 广度优先遍历 3 * @return 返回保持有遍历之后的顺序的队列 4 */ 5 public Queue<T> breadthFirstSearch(){ 6 initVisitedCount(); //将记录访问次序的数组初始化为0 7 Queue<Integer> tallyQueue = new LinkedList<>(); //初始化队列 8 Queue<T> edges = new LinkedList<>(); //用于存储遍历过的点,用于输出 9 int nowVertice = -1; //当前所在的点 10 while((nowVertice = findNotVisited()) != -1){ //寻找还未被访过问的点 11 visitedCount[nowVertice] = 1; //设置访问标记 12 edges.offer(verticeInfo[nowVertice]); 13 tallyQueue.offer(nowVertice); //将当前孤立部分一个顶点加入记录队列中 14 while(!tallyQueue.isEmpty()){ //只要队列不为空 15 nowVertice = tallyQueue.poll(); //取出队首的节点 16 for(int a = 0; a < verticeNum; a++){ //遍历所有和nowVertice相邻的节点 17 if((racs[nowVertice][a] != Integer.MAX_VALUE) && visitedCount[a] == 0) { //没有访问过 18 visitedCount[a] = 1; //记为标记过 19 tallyQueue.offer(a); //加入队列,上面会继续取出.来遍历 20 edges.offer(verticeInfo[a]); //记录 21 } 22 } 23 } 24 } 25 return edges; 26 }
这里需要两个队列,一个队列用于存储遍历过程,另一个用于保存第n层被遍历的顺序,等到遍历第n+1层的时候,取出的顶点就是按照上层的顺序来排列,也就能按照上层的顺序来继续遍历.
下面是Graph完整代码:
1 package com.henvealf.datastructures.graph.arcs; 2 3 import java.util.*; 4 5 /** 6 * 使用邻接矩阵实现图<p> 7 * 深度优先遍历与广度优先遍历<p> 8 * 求最短路径:<p> 9 * 1. Dijkstra 算法 <p> 10 * 2. Ford 算法 <p> 11 * 3. 通用型的纠正标记算法<p> 12 * Created by Henvealf on 16-5-22. 13 */ 14 public class Graph<T> { 15 private int[][] racs; //邻接矩阵 16 private T[] verticeInfo; //各个点所携带的信息. 17 18 private int verticeNum; //节点的数目, 19 private int[] visitedCount; //记录访问 20 private int[] currDist; //最短路径算法中用来记录每个节点的当前路径长度. 21 22 public Graph(int[][] racs, T[] verticeInfo){ 23 if(racs.length != racs[0].length){ 24 throw new IllegalArgumentException("racs is not a adjacency matrix!"); 25 } 26 if(racs.length != verticeInfo.length ){ 27 throw new IllegalArgumentException ("Argument of 2 verticeInfo's length is error!"); 28 } 29 this.racs = racs; 30 this.verticeInfo = verticeInfo; 31 verticeNum = racs.length; 32 visitedCount = new int[verticeNum]; 33 } 34 35 /** 36 * 深度遍历的递归 37 * @param begin 从第几个节点开始遍历 38 */ 39 public void DFS(int begin, Queue<T> edges){ 40 visitedCount[begin] = 1; //标记begin为已访问 41 edges.offer(verticeInfo[begin]); //加入记录队列 42 for(int a = 0; a < verticeNum; a++){ //遍历相邻的点 43 if((racs[begin][a] != Integer.MAX_VALUE)&& visitedCount[a] == 0){ //相邻的点未被访问过 44 DFS(a,edges); 45 } 46 } 47 } 48 49 /** 50 * 开始深度优先遍历 51 * @return 返回保持有遍历之后的顺序的队列 52 */ 53 public Queue<T> depthFirstSearch(){ 54 initVisitedCount(); //将记录访问次序的数组初始化为0 55 Queue<T> edges = new LinkedList<>(); //用于存储遍历过的点,用于输出 56 int begin = -1; 57 while((begin = findNotVisited()) != -1){ //不等于-1说明还有未访问过的点 58 DFS(begin,edges); 59 } 60 return edges; 61 } 62 63 /** 64 * 广度优先遍历 65 * @return 返回保持有遍历之后的顺序的队列 66 */ 67 public Queue<T> breadthFirstSearch(){ 68 initVisitedCount(); //将记录访问次序的数组初始化为0 69 Queue<Integer> tallyQueue = new LinkedList<>(); //初始化队列 70 Queue<T> edges = new LinkedList<>(); //用于存储遍历过的点,用于输出 71 int nowVertice = -1; //当前所在的点 72 while((nowVertice = findNotVisited()) != -1){ //寻找还未被访过问的点 73 visitedCount[nowVertice] = 1; //设置访问标记 74 edges.offer(verticeInfo[nowVertice]); 75 tallyQueue.offer(nowVertice); //将当前孤立部分一个顶点加入记录队列中 76 while(!tallyQueue.isEmpty()){ //只要队列不为空 77 nowVertice = tallyQueue.poll(); //取出队首的节点 78 for(int a = 0; a < verticeNum; a++){ //遍历所有和nowVertice相邻的节点 79 if((racs[nowVertice][a] != Integer.MAX_VALUE) && visitedCount[a] == 0) { //没有访问过 80 visitedCount[a] = 1; //记为标记过 81 tallyQueue.offer(a); //加入队列,上面会继续取出.来遍历 82 edges.offer(verticeInfo[a]); //记录 83 } 84 } 85 } 86 } 87 return edges; 88 } 89 90 /** 91 * 寻找没有被访问过的顶点. 92 * @return > 0 即为还未被访问过的顶点. -1 说明所有的节点都被访问过了. 93 */ 94 private int findNotVisited(){ 95 for(int i = 0; i < verticeNum; i ++){ 96 if(visitedCount[i] == 0){ 97 return i; 98 } 99 } 100 return -1; 101 } 102 103 /** 104 * 将记录访问的数组初始化为0 105 */ 106 private void initVisitedCount(){ 107 for(int i = 0; i < visitedCount.length; i ++){ 108 visitedCount[i] = 0; 109 } 110 } 111 }
下面测试类:
package com.henvealf.datastructures.graph.arcs; import java.util.Queue; /** * 图的测试类 * Created by Henvealf on 16-5-22. */ public class Main { public static void main(String[] args) { int[][] racs = new int[][]{ {0,1,0,1,0,}, {1,0,1,0,1,}, {0,1,0,1,1,}, {1,0,1,0,0,}, {0,1,1,0,0,}, }; int oo = Integer.MAX_VALUE; int[][] racs1 = new int[][]{ {oo, 1, 1,oo,oo,oo,oo,oo}, { 1,oo,oo, 1,oo,oo,oo,oo}, { 1,oo,oo, 1, 1,oo,oo,oo}, {oo, 1, 1,oo,oo, 1, 1,oo}, {oo,oo, 1,oo,oo,oo,oo, 1}, {oo,oo,oo, 1,oo,oo, 1,oo}, {oo,oo,oo, 1,oo, 1,oo,oo}, {oo,oo,oo,oo, 1,oo,oo,oo}, }; String[] verticeInfos1 = new String[] { "V0","V1","V2","V3","V4","V5","V6","V7" }; Graph<String> graph = new Graph<>(racs2,verticeInfos2); Queue<String> dr = graph.depthFirstSearch(); Queue<String> br = graph.breadthFirstSearch(); System.out.println("--遍历"); System.out.println("----深度优先结果: " + dr); System.out.println("----广度优先结果: " + br); }
不足之处,请多多指出,感激不尽.
End... By Henvealf/自安