CF277E Binary Tree on Plane
题目大意
给定平面上的 (n) 个点，定义两个点之间的距离为两点欧几里得距离，求最小二叉生成树。
题解
妙啊。
难点在于二叉的限制。
注意到二叉树每一个点最多有一个父亲，最多可以有两个儿子，这让我们联想到了网络流中的容量。
考虑建图：
令源点为 (s)，汇点为 (t)。
我们将每一个点 (u) 拆为两个点 (u_1,u_2);
每个点最多可以有两个儿子 (Rightarrow) 从 (s) 向 (u_1) 连一条容量为 (2)，费用为 (0) 的边。
每个点最多可以有一个父亲 (Rightarrow) 从 (u_2) 向 (t) 连一条容量为 (1)，费用为 (0) 的边。
(u) 可以成为 (v) 的父亲 (Rightarrow) 从 (u_1) 向 (v_2) 连一条容量为 (1)，费用为 (operatorname{dist}(u,v)) 的边。
然后我们跑最小费用最大流，判断最大流是否为 (n-1) 即可。
/*---Author:HenryHuang---*/
#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-6
using namespace std;
const int maxn=800+5;
typedef long long ll;
struct edge{
int to,nex,w;
double v;
}e[maxn*maxn*2];
int head[maxn],cur[maxn],tot=1;
void add(int a,int b,int c,double d){
e[++tot]=(edge){b,head[a],c,d};
head[a]=cur[a]=tot;
}
void addedge(int a,int b,int c,double d){
add(a,b,c,d);
add(b,a,0,-d);
}
int n,m,s,t;
double dis[maxn];
bool vis[maxn];
bool spfa(){
memset(vis,0,sizeof vis);
for(int i=s;i<=t;++i) vis[i]=0,dis[i]=(1ll<<60),cur[i]=head[i];
queue<int> Q;
dis[s]=0;vis[s]=1;Q.push(s);
while(!Q.empty()){
int u=Q.front();Q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){
int v=e[i].to;
if(e[i].w&&dis[v]-dis[u]-e[i].v>eps){
dis[v]=dis[u]+e[i].v;
if(!vis[v]) vis[v]=1,Q.push(v);
}
}
}
return dis[t]<(double)(1ll<<60);
}
int dfs(int u,int in){
if(u==t) return in;
int out=0,tmp;
vis[u]=1;
for(int i=cur[u];i;i=e[i].nex){
int v=e[i].to;cur[u]=i;
if((!vis[v])&&e[i].w&&abs(dis[v]-dis[u]-e[i].v)<eps&&(tmp=dfs(v,min(in,e[i].w)))){
e[i].w-=tmp,e[i^1].w+=tmp;
in-=tmp,out+=tmp;
if(!in) break;
}
}
if(!out) dis[u]=0;
vis[u]=0;
return out;
}
double x[maxn],y[maxn];
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i) cin>>x[i]>>y[i];
s=0,t=2*n+1;
for(int i=1;i<=n;++i) addedge(s,i,2,0),addedge(i+n,t,1,0);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
if(i!=j&&y[i]>y[j]) addedge(i,j+n,1,sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j])));
int ans1=0;double ans2=0;
while(spfa()){
int tmp=dfs(s,2e9);
ans2+=dis[t]*tmp;
ans1+=tmp;
}
if(ans1==n-1) cout<<setprecision(6)<<fixed<<ans2<<'
';
else cout<<-1<<'
';
return 0;
}