多目标规划

• 多目标规划的模型基础：

1. 正负偏差变量
   即d2+，d2-分别表示决策值超过和未达到目标值的部分。且di+，di-均大于0

2. 刚性约束和目标约束（柔性目标约束具有偏差）
   多目标规划中，刚性约束中保持>=/<=不变。约束需要变换为柔性约束时，需要把>=/<=改成=（因为已经有了d2+，d2-用来表示正负偏差），并且追加上（+di-di+）这里注意！是+di-，-di+，这是因为需要将目标还原回去，使其最接近原来的刚性约束

3. 优先因子与权系数
   对于若干个目标，分出主次和轻重缓急

4. 目标规划的目标函数
   是所有偏差变量的加权和。值得注意的是该加权和均取min值。且每个不同的等级需求中，并不一定di+、di-都出现。具体分析需要具体看题目
   举例如下：
   题目中说设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，那么用时间衡量列出的表达式即为：min z=P3（d3- + d3+）之所以这里用+而不是-d3+的原因是：正负偏差不可能同时存在，必有di+di-=0（因为决策值不可能同时大于目标值又小于目标值），又前面是min，所以就取+，让di+和di-都是正值。故引出如下规则：

• 最后给出例题，并给出对应的解法：

问题：某企业生产甲、乙两种产品，需要用到 A, B,C 三种设备，关于产品的赢利与使用设备的工时及限制如下表所示。问该企业应如何安排生产，才能达到下列目标：

（ 1）力求使利润指标不低于 1500 元；
（ 2）考虑到市场需求，甲、乙两种产品的产量比应尽量保持 1:2；
（ 3）设备 A 为贵重设备，严格禁止超时使用；
（ 4）设备C 可以适当加班，但要控制；设备 B 既要求充分利用，又尽可能不加班。
在重要性上，设备 B 是设备C 的 3 倍。
建立相应的目标规划模型并求解。
解：设该企业生产甲乙两种产品的件数分别为 x1, x2 ，相应的目标规划模型为：

• 下面采用序贯解法，用lingo求解：

一级目标：

model:
sets:
variable/1..2/:x;!规定变量;
s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;!软约束条件个数（g的个数=dplus个数=dminus个数）以及需要的相关参数;
s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数;
endsets
data:
g=1500 0 16 15;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
enddata
min=dminus(1);!第一个目标函数;！对应min=z中第一小部分;
2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束;
@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); ！利用设置完毕的数据构建软约束的表达式;
!软约束表达式;
@for(variable:@gin(x));!限制变量为整数;
end

此时，第一目标最优值为0，第一级偏差为0，下面进行第二步：
二级目标：

!求得dminus(1)=0,接着求解第二个目标;
model:
sets:
variable/1..2/:x;!规定变量;
s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;!软约束条件个数以及相关参数;
s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数;
endsets
data:
g=1500 0 16 15;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
enddata
min=dminus(2)+dplus(2);!第二个目标函数;
2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束;
@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));
!软约束表达式;
dminus(1)=0;!第一目标结果;
@for(variable:@gin(x));
end

此时，第二目标最优值为0，偏差为0，下面进行第三步：
三级目标：

!求得dminus(2)=0,接着求解第三个目标;
model:
sets:
variable/1..2/:x;!规定变量;
s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;!软约束条件个数以及相关参数;
s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数;
endsets
data:
g=1500 0 16 15;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
enddata
min=3*dminus(3)+3*dplus(3)+dminus(4);!第三个目标函数;
2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束;
@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));
!软约束表达式;
dminus(1)=0;!第一目标约束;
dminus(2)+dplus(2)=0;!二级目标约束;
@for(variable:@gin(x));
end

最终求得x1=2,x2=4,dplus(1)=100,最优利润为1600

由于上面的过程需要编写好几个程序，在使用时不方便，下面给出Lingo编写的一个通用程序，在程序中用到数据段未知数据的编程方法。

!序贯算法的核心就在于按照p的优先级依次视作单目标规划去求解  eg.p1表示优先级为1的，需要第一个计算;
model:
sets:
level/1..3/:p,z,goal;
variable/1..2/:x;
h_con_num/1..1/:b;
s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;
!以上为建立变量;
h_con(h_con_num,variable):a;!构建约束;
s_con(s_con_num,variable):c;!构建约束;
obj(level,s_con_num)/1 1,2 2,3 3,3 4/:wplus,wminus;!定义P(i)与dplus(i)、dminus(i)之间的系数.其中1 1代表P(1)和dplus(1)、dminus(1)的系数;
endsets
data:
ctr=?;	!?表示需要输入;
goal=??0;	!因为是一级一级去求偏差的，所以一共三级时，求解到最后一级时只需要输入前两级的最优偏差约束即可，所以goal是？？0;
b=12;
g=1500 0 16 15;
a=2 2;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
wplus=0 1 3 1;
wminus=1 1 3 0;
enddata
min=@ sum(level:p*z);	!这个是按照一级一级来求的，因为从该行往下第二行可以发现在求该级目标的时候，其他级的系数均置为了0.;
p(ctr)=1;	!p是序贯算法中的表示优先级的因子，不是一个系数。所以这里当作系数运算时令为1，详见下一行注释。序贯算法的核心就在于按照p的优先级依次视作单目标规划去求解  eg.p1表示优先级为1的，需要第一个计算;
@for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);!i不等于ctr时，p(i)为0;
@for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j)));!构建z(i);
@for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<b(i));!第一个刚性约束;
@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));	!柔性约束;
@for(level(i)|i#lt#@ size(level):@ bnd(0,z(i),goal(i)));	!这里是为了带上之前求出来的级别最优偏差的约束:0=<z(i)<=goal(i);
end

当程序运行时，会出现一个对话框。
在做第一级目标计算式，ctr输入1，goal（1），goal（2）输入两个较大的值（goal代表最优偏差），表明这两项约束不起作用。
求的第一级最优偏差为0，进行第二轮的计算。
在第二轮的目标运算中，ctr输入2，由于第一级偏差为0，因此goal（1）的输入值为0。
goal(2)输入一个较大的值，求得第二级的最优偏差仍为0，进行第三级计算。
在第三级计算中，ctr输入3，由于第一级，第二级偏差均为0，因此goal（1），goal（2）输入值均为0.