garaza(4s256M)
最近,Slavko一直在研究自然数序列。他发现如果序列中所有元素的最大公约数大于1,则这个序列有趣的。
昨天,他在车库里发现了一个由N个自然数组成的序列。因为他很无聊,所以决定通过简单的提问来保持自己的注意力。每个查询可以是两种类型的一种:
- 改变X位置上的值为V
- 统计L 到 R区间内有趣子序列的个数。
输入:
第一行两个数N和Q (1 ≤ N, Q ≤ 10 5 ),表示序列中元素的个数和操作的个数。
接下来一行N个数,表示原始的数序。第i个数用 Ai表示i (1 ≤ Ai ≤ 109 )
接下来Q行,每行表示一个操作。
操作的第一个数值为1或2,表示操作的类型。
对于类型1,后面两个数X和V。X (1 ≤ X ≤ N) and V (1 ≤ V ≤ 10 9 )
对于类型2,后面两个数L和R。(1 ≤ L ≤ R ≤ N)
输出:
对于每一个类型2,输出一行一个数,表示给定区间内连续的有趣子序列的个数。
SAMPLE TESTS
input
5 1
8 4 3 9 1
2 2 5
Output
4
样例1,区间2,5的元素是(4, 3, 9, 1).连续的有趣子序列为:
[4] 3 9 1,4 [3] 9 1, 4 3 [9] 1, 4 [3,9] 1 中括号内为连续的子序列。
题目大意:
给一段序列,求l,r之间有多少子序列的gcd>1,支持修改
分析:
想到分治,想到可能可以能线段树维护,现在的难点就是怎么合并两段子序列
解决:
我们考虑直接线段树维护区间内答案的个数。l+r 区间内的答案为 l 的答案 加上 r 的答案再加上从左区间出发,到达右区间的串的数量。
我们考虑如何维护跨区间答案的数量。
一个子串对答案有贡献,当且仅当串的 GCD 大于 1 。问题转化为维护跨区间的 GCD 大于 1 的有多少个串.
线段树是无法维护跨区间的数据的,对于这种东西,我们可以拆成前缀+后缀的形式。
记录每个区间的前缀GCD 与 后缀 GCD ,
打表或思考发现 两个数的 GCD 不超过最大数的1/2,且前缀 GCD 单调递减。
所以前缀GCD的种类不超过log个,我们可以开pair记录前缀 GCD 的值与数量。
整个区间的前缀GCD 长度不超过L区间的部分直接继承过来。
超过 L 的部分 就是L整段区间的 GCD 和 R中前缀的 GCD的 GCD.
如果前缀 GCD相同,直接数量加到上一个上。
如果前缀 GCD不同,新建一个pair 数值为算出来的 GCD. 数量为R 区间前缀的 GCD 的数量。
后缀 GCD 同理。
然后我们得到合并区间计算答案时,枚举 L 区间的后缀与 R 区间的前缀。我们发现右移 L 区间指针时,其实是去掉了一个数的GCD,所以 R区间的指针也会右移或不动。所以计算时 L R 区间的指针都是单调右移的。
所以可以 two−pointer 快速得到答案.
然后注意合并区间时代码的细节。。一定要对拍。。
主要就是
线段树的维护前后缀维护跨区间信息,观察 GCD性质发现只有log 种不同GCD two−pointer快速得到答案
转至:https://blog.csdn.net/qq_40512553/article/details/79986904
(有人写了,我就不写了)
附上代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const long long maxn=1e5+12; typedef pair<int,int> par; inline int gcd(int a,int b){if(a < b)swap(a,b);while(b){a %= b;swap(a,b);}return a;} inline int read() { int x = 0;char i = getchar(); while(!isdigit(i))i = getchar(); while(isdigit(i))x = x * 10 + i - '0',i = getchar(); return x; } struct Tree { vector<par> pre,sub; long long iting; }tree[maxn<<2]; int N,Q; inline Tree pushup(Tree l,Tree r) { Tree a;a.pre.clear();a.sub.clear(); a.pre = l.pre;a.sub = r.sub; for(int i = 0;i < r.pre.size();i++) { int tmp = gcd(r.pre[i].first,l.pre[l.pre.size() - 1].first); if(tmp == a.pre[a.pre.size() - 1].first)a.pre[a.pre.size() - 1].second += r.pre[i].second; else a.pre.push_back(make_pair(tmp,r.pre[i].second)); } for(int i = 0;i < l.sub.size();i++) { int tmp = gcd(l.sub[i].first,r.sub[r.sub.size() - 1].first); if(tmp == a.sub[a.sub.size() - 1].first)a.sub[a.sub.size() - 1].second += l.sub[i].second; else a.sub.push_back(make_pair(tmp,l.sub[i].second)); } a.iting = l.iting+ r.iting; int lc = l.sub.size() - 1,rc = 0;long long ls,rs = 0;bool f = 0; while(true) { int tmp = f ? rc - 1 : rc; while(lc>0&& gcd(l.sub[lc].first,r.pre[tmp].first) == 1)lc--,f = 0; if(lc < 0)break;if(f)lc--; ls = l.sub[lc].second;rs; while(rc < r.pre.size() && gcd(l.sub[lc].first,r.pre[rc].first) != 1) rs += r.pre[rc].second,rc++; if(gcd(l.sub[lc].first,r.pre[rc - 1].first) != 1)a.iting += ls * rs; if(lc <= 0)break; f = 1; } return a; } int a[maxn]; inline void build(int l,int r,int rt) { if(l == r) { tree[rt].pre.clear();tree[rt].sub.clear(); tree[rt].sub.push_back(make_pair(a[l],1)); tree[rt].pre.push_back(make_pair(a[l],1)); tree[rt].iting = a[l] != 1; return; } int mid = l + r >> 1; build(l,mid,rt << 1); build(mid + 1,r,rt << 1 | 1); tree[rt] = pushup(tree[rt << 1],tree[rt << 1 | 1]); } inline void updata(int L,int l,int r,int rt) { if(l == r) { tree[rt].pre.clear();tree[rt].sub.clear(); tree[rt].sub.push_back(make_pair(a[l],1)); tree[rt].pre.push_back(make_pair(a[l],1)); tree[rt].iting = a[l] != 1; return; } int mid = l + r >> 1; if(L <= mid)updata(L,l,mid,rt << 1); else updata(L,mid + 1,r,rt << 1 | 1); tree[rt] = pushup(tree[rt << 1],tree[rt << 1 | 1]); } inline Tree query(int L,int R,int l,int r,int rt) { if(L <= l && r <= R)return tree[rt]; int mid = l + r >> 1; if(L > mid)return query(L,R,mid + 1,r,rt << 1 | 1); if(R <= mid)return query(L,R,l,mid,rt << 1); return pushup(query(L,R,l,mid,rt << 1),query(L,R,mid + 1,r,rt << 1 | 1)); } int main() { freopen("garaza.in","r",stdin); freopen("garaza.out","w",stdout); N=read();Q=read(); for(int i=1;i<=N;i++) a[i]=read(); build(1,N,1); int type,l,r; for(int i=1;i<=Q;i++) { type=read();l=read();r=read(); if(type==1) a[l]=r,updata(l,1,N,1); else printf("%lld ",query(l,r,1,N,1).iting); } fclose(stdin); fclose(stdout); }