【图论】二分图

二分图（又称作二部图）

设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则称图G为二分图。

其实还有一个概念：

不存在奇数条边的简单回路。

最大匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

增广路(也称增广轨或交错轨)

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

交替路 

从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。

【匈牙利算法】——求最大匹配

推荐一个趣味解释匈牙利算法的链接：http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547/

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2－P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。

3－M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

bool find(int x)
    {  
    int i,j;  
    for (j=1;j<=m;j++){ 
        if (map[x][j]==true && visit[j]==false)        
         
        {  
            visit[j]=1;  
            if (match[j]==0 || find(match[j])) 
            {   
                match[j]=x;  
                return true;  
            }  
        }  
    }  
    return false;  
}  

最小顶点覆盖：用最少的点，让每条边都至少和其中一个点关联；

最小边覆盖：用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点；

最大独立集：在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边的点中，m的最大值。

证明参考：http://blog.csdn.net/huangshuai147/article/details/51087275

完。

2017-07-13 Hathaway