分割面、空间

分割面、空间

直线分割平面

问题描述： 给 n 条直线，问最多能分割出多少个区域？

设 n-1条直线分割出了 f[n-1] 个区域，第 n 条直线想分割最多区域就要和 n-1 条直线相交，从而得到 n-1 个点 ，n-2 条线段 ，每条线段将区域一分为二 ，两端射线也将区域一分为二，即多出来 2 + （n-2 ）个区域。

推导：
$$\begin{array}{rl}f[n]& =f[n-1]+2+(n-2)\\ & =f[n-1]+n\\ & =f[n-2]+(n-1)+n\\ & =f[n-3]+(n-2)+(n-1)+n\\ & =f[0]+1+2+\dots \dots +(n-1)+n\\ & =n\ast (n+1)/2+1\end{array}$$

折线分割平面

问题描述： 给 n 条折线，问最多能分割出多少个区域？hdu-2050

设 n-1 条折线分割出 f[n-1] 个区域，第 n 条直折线想分割最多区域也要和 n-1 条折线的边相交 ，即 2 *（n-1）条线，那么新增 4 *（n-1）条线段，射线数为 2 ，但是在另一端（v型端）两线段只能增加一个区域。

推导：
$$\begin{array}{rl}f[n]& =f[n-1]+4\ast (n-1)+2-1\\ & =f[n-1]+4\ast (n-1)+1\\ & =f[n-2]+4\ast (n-2)+4\ast (n-1)+2\\ & =f[1]+4+4\ast 2+\dots \dots +4\ast (n-1)+（n-1）\\ & =2\ast n^2-n+1\end{array}$$

平面分割空间

问题描述： 用刀切圆形蛋糕，n 刀最多能把蛋糕切成多少块？hdu-1290

二维的分割与交点有关，那么三维与交线有关吗？当 n-1刀时，有 p[n-1] 块蛋糕，那么第 n 刀一定是和前n-1 刀（假设切完以后蛋糕之间没有分开）平面相交，最多有 n-1 条交线，那么n-1 条交线将第n 个平面分为 f[n-1]个区域（直线分割平面）而这些平面将原有的空间一分为二，则增加了p[n-1]块蛋糕。

推导：
$$\begin{array}{rl}p[n]& =p[n-1]+f[n-1]\\ & =p[n-2]+f[n-2]+f[n-1]\\ & =p[1]+f[1]+\dots \dots +f[n-1]\\ & =2+(1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\dots \dots +(n-1)\ast n)/2+(n-1)\\ & =n+1+(2\ast 2+3\ast 3+4\ast 4+\dots \dots +n\ast n-2-3-4-\dots \dots -n)/2\\ & =(n^3+5\ast n)/6+1\end{array}$$

圆形（封闭曲线）分割平面

问题描述： 有 n 个圆形，问最多能分割出多少个区域？

设前 n-1 个圆形有 f[n-1] 分割个区域，第 n 个圆要割出最多个区域，那么要与前 n-1 个圆相交，则多出 2 * （n-1）个线段，增加了2 *（n-1）个区域。

推导：
$$\begin{array}{rl}f[n]& =f[n-1]+2\ast (n-1)\\ & =f[n-2]+2\ast (n-2)+2\ast (n-1)\\ & =f[1]+2+2\ast 2+\dots \dots +2\ast (n-1)\\ & =n^2-n+2\end{array}$$

总结

无论是线分割面，还是面分割空间，都是让第 n 个面或线与前面的 n-1 个面或线相交，从而得出线段和射线个数；多出 k 条线段即多出了 k 个区域，因为线段将空间一分为二。射线也像线段一样，分割区域；折线是因为有两个线段相交成V型，只分割出1块区域。

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