欧几里得算法

欧几里得算法

在«几何原本»中，欧几里得提出了用辗转相除的方法求解两个整数(a,b)的最大公约数的算法：

gcd(a, b)
    if (0 == b) return a
    else return gcd(b, a mod b)

定理：若整数(a,b)的最大公约数为(gcd(a,b))，那么(gcd(a,b)=gcd(b,a\,mod\,b))
证明：
令(d)表示(a,b)的公约数，那么(d|a)且(d|b)
推出(d|(a\,mod\,b)=a-kb)
所以((a,b))和((b,a\,mod\,b))两者拥有的公约数集合是一样的
即得证

算法复杂度

欧几里得算法最多只会递归(Theta(log n))次，所以完全不用担心爆栈，证明如下：
引理：设(a>bgeq 1)并且(gcd(a,b))递归调用了(kgeq 1)次，那么(ageq f_{k+2}，bgeq f_{k+1})，其中(f_k)表示第(k)项斐波那契数
证明：
这里用归纳法证明，当(k=1)时，(bgeq f_2=1,ageq f_3=2)成立
当(k>1)时，(bgeq f_{k+1},a\,mod\,bgeq f_{k})并且(ageq b+(a\,mod\,b)geq f_{k+1}+f_{k}=f_{k+2})
即得证
由于(f_kapprox frac{phi^k}{sqrt{5}})，其中(phi=frac{1+sqrt{5}}{2})，是呈几何倍数增长的，所以欧几里得算法复杂度为(Theta(log n))

扩展欧几里得算法

当要求解方程(a∗x+b∗y=gcd(a,b))的整数解的时候，只需要扩展一下欧几里得算法就可以得到整数解((x,y))：

exgcd(a, b, &x, &y)
    if (0 == b)
        x = 1 y = 0
        return a
    else
        d = exgcd(b, a % b, &xx, &yy)
        x = yy y = xx - a / b * yy
        return d